有效提高数学成绩的几个方法

我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响数学成绩的一些方法与技巧。

学好数学,第一要点是要做足够的习题。只有足够的练习,才能准确、熟练地掌握所学的内容。

这一点,是所有数学老师都会强调,而且每个家长都清楚的一个道理。所以我不打算在这里过多强调这一点。

我们经常碰到有些学生,明明掌握了所学的知识点,但在考试中会出现这样那样的问题,例如,时间不够,简单的计算错误,对一些复杂的式子不知所措等等,这些都极大地影响了最后的学习成绩。

针对这些情况,我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响考试成绩的一些方法与技巧。

第一,先化简,再计算。每做一步,化简一步,再进行下一步计算。化简之后,计算会变得更简单,更不容易出错,可以更快并且更准确地得到答案。

例如,分式的乘法运算,要先化简,再做乘法(除法也是用乘法来算)

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{7}{\cancel{8}2}\times\frac{\cancel{4}}{5}=\frac{7}{10}\]

但是事实上,很多同学是这样做的

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{4}\times 7}{\cancel{4}\times 10}=\frac{7}{10}\]

至少多了一步。更有甚者,

\begin{align*}\frac{7}{8}\times\frac{4}{5} &=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{2}\times 14}{\cancel{2}\times 20}\\ &=\frac{14}{20}=\frac{\cancel{2}\times 7}{\cancel{2}\times 10}\\ &=\frac{7}{10}\end{align*}

这就多了好几步。如果数字再大一点,那就更不得了。当然,这除了不会先简化以外,还涉及到基本的计算能力的问题,这就是我们第二点要讲的方法,平时做题尽量不用计算器。

我们再来看一个化简的问题,解方程

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

这样的方程,两个根号,两边直接平方的话,左边会再出现一个根号,而且根号里面是一个二次多项式,然后再平方,计算量就大。那么我们先把其中一个根号放到右边去,

\[\sqrt{x+19}=7-\sqrt{x-2}\]

再平方,

\[x+19=49-14\sqrt{x-2}+x-2\]

合并同类项,将根号放到左边,其余的放到右边(也可以反过来,根号放右边,其余放左边,但这样的话,根号就是负的,多一个东西在那里,我个人是不喜欢的。)

\[14\sqrt{x-2}=49+x-2-x-19,\]

\[14\sqrt{x-2}=28\]

有些同学这里就直接两边平方了,不管是 \(14\) 还是 \(28\) 的平方都是不小的数啊!但事实上,只要两边除以 \(14\),就得到

\[\sqrt{x-2}=2\]再两边平方,多简单,

\[x-2=4,\quad x=6\]

再把答案代入方程,成立。所以方程的解是 \(x=6\)。

这里我们就是,每做一步,化简一步,这样计算量小,速度快,而且不容易出错。

第二,尽量不依赖计算器。北美的学生尤其依赖使用计算器,这使得他们的基本计算技巧特别弱。在碰到一些不准用计算器的考试中,在一些基本的计算上花费太多的时间,从而会造成时间不够或者不能够充分思考的情况下答题。我碰到一些学生,特别是北美本地长大的学生,甚至到了大学,基本的四则运算都不熟练。

第三,简化运算式。这跟之前化简不一样,化简是将一些数字、运算式约掉,但简化是通过一些运算,将复杂的式子变成相对简单的运算式,再对简化后的式子进行运算。

例如,我们对二次多项式进行因式分解

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}\]

这样的二次多项式,即使你很熟悉因式分解,也是很难直接分解出来的。但是如果我们这样做

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(8x^2-6x-5)\]

然后对括号里的部分进行分解,就容易多了。利用交叉相乘的方法,很快就可以分解出来

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(2x+1)(4x-5)\]

第四,使用分数而不是小数进行运算,使用 \(\pi, e\) 等进行运算,而不是使用 \(3.14, 2.72\) 等进行运算。使用根式而不是用小数进行运算。

同样的一个数,小数的计算量要比分数的计算量大得多。我们看一个例子,这是我前几天跟几个同学讨论问题的碰到的。求二次函数 \[y=x^2+5x+19\] 的顶点。

标准的做法就是配方法,同学是这样做的

\begin{align*}y=x^2+5x+19&=(x^2+5x)+19\\&=(x^2+5x+2.5^2)-2.5^2+19\\&=(x-2.5)^2-6.25+19\\ &=(x-2.5)^2+12.75\end{align*}

所以顶点为点 \((2.5,12.75)\)。我当时就说,能够用分数,就不要用小数。你们看,\(2.5\) 的平方,本质上就是 \(25\) 的平方,两位数的平方,但是如果是用 \(\frac{5}{2}\) 的平方,就是两个一位数的平方,是不是简单得多?\(2\) 和 \(5\) 的平方,即使是两个数的平方,也比一个两位数的平方容易计算得多!不信,如果我们换一个数字

\[y=x^2+9x+19\]

那就需要计算 \(4.5\) 的平方,这个数估计一般人心算不出来,得用竖式乘法来算。而 \(\frac{9}{2}\) 的平方,几乎每个人都可以在一秒钟之内算出来 。

一句话,尽量避免小数的运算。能够用分数、根式、\(\pi, e\) 这些进行运算的,就不要使用小数。如果考试要求用小数表示出来,也是在最后一步化成小数。

第五,当解题方式有几种选择时,选取最快,最简便的解题方式。例如,解二次方程时,能够用因式分解就不要用二次根式解的公式。因式分解时,交叉相乘是最快的方式,而不是先将 \(a,c\) 相乘,再分解,再除以 \(a\) 的方式。

我们前面那个解方程的例题,

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

我们可以两边同时平方,然后再移项,简化,但是得到的式子却复杂多了,虽然也能解出来 ,但是效率却差了很多!

第六,记住所有重要的公式,而不依赖于公式纸。北美的考试中,大部分都有一张 cheat sheet,也就是公式表。我经常跟学生说,不要去看那张纸,如果依赖于那个公式表来答题,肯定不会有好成绩,因为你效率太低了呀。你有多少时间花在找公式的过程中去了。考试是有时间限制的,你花太多时间在找公式中,那么留给你答题的时间就少了呀。如果你记住了这些公式,你答题时,就不需要去花时间翻公式表。更糟糕的是,有时候你即使你看了公式表,你也不知道该用哪个公式!

当然,记住重要的公式,不是让学生去背这个公式表。这些公式都是通过不断的练习中记住的。我也经常跟学生说,做题时,也不应该去看着公式表来做题。只有当你需要确定你使用的公式是否正确的情况下,才去看公式表。这样记住的公式才记得牢,用得准,算得快。

我是怎么自学数学的

我本来是中专生,专业是会计。后来自学数学,考取了数学专业的研究生,毕业后,去大学教数学。

我第一次接触高等数学,是中专毕业三年以后。那时候,连三角函数是什么东西我都弄不清楚。可以说,我是连高中数学的基础都没有。之前虽然在中专学过一年半的数学,但是一来时间过得太久,二来本来就学得不多,学得不好。

那时候的自学考试,是完全的“自学”。我在一个偏远山区的乡政府里上班,要去县城的话,一天只有一班车。学习的资料,除了自学考试的教材,就没有了,周围也没有别人参加自学考试,更不用说找到懂数学的人了。那时也没有什么学校开办自学考试班,就算是有,也没办法参加,一没钱,二没时间。

听其它的朋友说过一个故事,说有一个人参加自学考试,其它十二门都考过了,就高等数学考了好几次,都不及格,在最后一门课程竟然放弃了!

那个时候,自学考试一年考两次,一月份报名,四月份考,七月份报名,十月份考。我拿到高等数学教材以后,看了一个月的书,结果是连极限的概念都没弄懂,后面只有两个月的时间,把剩下的部分勉强学完了,去参加考试,结果差几分,没及格。后来再考一次,六十几分,总算是过了。

专科考完之后,我一边考研,一边考本科阶段自学考试。本科阶段的数学称为《高等数学(二)》,内容是线性代数与概率统计,这次是一次性考过,成绩忘记了。这次可能是因为考研需要要考这两门,一来学习时间更多,二来有了前次考试的经验,学起来更有效率一些。在本科还差四门课程就考完的时候,考上了研究生,就没有继续考本科课程了。

第一次参加考研,成绩是不忍卒睹,再一次参加考试,数学还是没能上线。再下一次,准备考试时,整整做完了一本高等数学习题集,又将一本线性代数教材的课后习题全做完,只是概率统计没能做太多的习题。这一次的考试,数学的成绩是62。那时候的总分是 100分, 数学单科分数线经常是 50 分,有时候甚至是 45 分上线。62 分,算得上是难得的高分了。

我记得那一年去学校研究生院查分,老师先问我几门公共课的分数,我报了我的分数后(英语61,政治61,数学62)以后,老师非常惊讶:公共课这么高的分数,怎么会没上线?(我总分324,分数线325,差一分上线)因为两门专业课分别为69分和71分,对于其它同学,专业课动不动就八、九十分来说,我这专业课分数跟没学差不多。

后来,听其它同学说,会计专业(或者经济专业)的专业课的考试题,很多都是老师在课堂上讲过的,或者曾经是这门课的作业,这对我来说,极为不利。于是在那一年,决定换专业,转学理工,考虑的就是理工科,不管哪个学校,内容应该都差不多,不会因为不同的老师有太大的差异。

考虑过后,理工类的课程,我只学过几门数学,所以决定转学数学。我学过的是高等数学、线性代数及概率统计,数学系对应的课程为数学分析、高等代数与概率统计。于是,那一年又将没有学过的数学专业部分的内容学了一遍。也正是那一年,我考上了研究生。

在学校通知复试的同时,学校通知我需要加考两门专业课(我是专科生,又是跨专业),于是,接到通知后的两个星期内,我又突击学习了两门数学专业课:解析几何和常微分方程。当时捡了最重要的部分学习,最后通过了复试。

入学以后,我的入学成绩是全班同学的最后一名,数学基础是所有同学中最差的。入学时,满打满算,我也就学了五门数学课程。在上研究生课程时,很多课程没法听懂,因为先修课程没学过。这期间只有不断地补本科的课程,才能跟得上研究生课程的学习。又因为没办法去跟本科生一起上课,又只有自学。复变函数、实变函数、泛函分析、抽象代数、数学物理方程这些课程都是这段时间补上的。毕业时,总算是补上了本科阶段的数学知识。

研究生毕业,进入大学教书以后,我花了大量业余时间去学习读研时没弄懂的内容。这也是我的一个个性,以前没弄懂的东西,总是想方设法去弄懂。这样持续几年以后,将以前读研时没弄懂的,缺的知识慢慢补上来,最后终于能够独立地进行数学研究,发表几篇不入流的数学论文,算是一个真正的数学工作者了。

在我自学数学的这些年中,走了不少冤枉路,特别是在头几年,学习方法和学习效率都不好。幸好慢慢地也积累了一些学习的经验,现在总结一下,可供同学们参考,希望对同学们能有所帮助。

一、教材。我在学每一门课程时,手头都备有好几本教材,除了开始的那段时期外,那时候没地方买书。 不同的教材,叙述的方式都不尽相同,相当于不同的老师,教学的风格都不一样。而且,不同的教材,对同一个问题的叙述都不一样,解释的角度也不一样。如果在一本教材里,某个问题你看不懂,也许换一个教材,换一个说法你就懂了。

当然,这些教材里,你需要选一本作为主要的教材,以这本教材作为学习的主线和主要顺序,其它的教材,在需要的时候参考,没必要每一本教材都完整地看一遍。

二、关于看书。我最大的教训在这里。以前学的专业是会计,又爱看小说。看书的时候,往往一目五行甚至十行,对于感觉不重要的部分或者不感兴趣的细节,往往直接跳过。对于很多解释性的文字,往往直接忽略。这样看书的速度很快,也不太影响专业知识的获取。但是看数学书就不一样了,看数学书,得一行一行地看,一个字一个字的看。有时候一个字没看到,就理解不了 一个定义或者定理。解释性的文字,不看的话,就不能很好地理解前面的讲述的内容。所以看数学书,一定仔细,不能略过任何一部分。

另外,看数学书,往往需要看一两行或者一两段,就停下来思考一下,自己是不是真懂了这一部分,能不能够用自己的话将这一部分解释清楚,能不能自己给出一个具体的例子等等。这些都是能够检验你是不是真正理解了这些内容。

三、关于例题。书上的例题应该自己动手做一遍。看懂例题是没有用的。我刚开始学数学时,看完例题就去做题,可经常做不对,又只好回来看例题,对照着例题,一步一步地看,看看自己做的题到底是什么地方出错了。后来,每个例题都自己先做一遍,再去做习题,这样做题的准确率更高了,做题的思路也更清晰,做题的速度也更快了。

做例题,不能看着它的解答一步一步跟着做,这样做出来的例题,也不是你的。你需要将例题的解答盖住,把例题当成习题来做,做完后再对照解答,看看不没有什么地方没有掌握。如果不能一次将例题从头做到尾,就证明这个例题你没有掌握。

四、关于做题。没有哪一个人能够不做题就学会数学了的。很多的数学教材在序言里会来这么一句:习题是本教材的一部分,同学应该尽量们多做课后的习题。

要想完完全全掌握一门数学课程,应该做完一本习题集,至少至少应该做完书后的习题。我前面几次考研,数学都考得很惨,但当我做完一本高等数学习题集,特别是做完习题集里面所有不定积分的题目时,突然感觉高等数学好简单!再之后,做完了一本线性代数课后的习题,也感觉线性代数变得简单多了。当年的数学就考得比较理想。

五、关于习题集。习题集应该是只有答案没有解答的习题集。你做完了知道自己做得对不对。不对的话,再仔细检查自己错在哪里。查错的过程能让你的理解能力提升一大截。有解答的习题集让你不自觉地去看它的正确解答,远不如自己查出自己错在哪里对你有用。

以上这些就是我这些年学习数学的经验,希望能对你有用。如果你觉得有用,可以推荐给你的同学朋友,谢谢!

什么是Related Rates(相关变化率)?怎么求?

AP Calculus 里面,Related rates 这一部分考得比较多。大学里面的微积分课程,这一部分也经常是考察的重点。 很多同学不能理解这里面的概念,也不知道怎么把它转化成数学问题。 现在我就这一部分进行解答。 那什么是Related rates 呢? 举例来说吧。我们知道圆的面积 \(A=\pi r^2\),如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \(\frac{dr}{dt}\),那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数)\(\frac{dA}{dt}\)也就知道了。 从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则(Chain Rule)。半径可以看成是时间的函数 \(r=r(t)\),那么面积 \(A(t)=\pi r^2(t)\),由复合函数的求导法则 \(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如 \(r\) 每秒增加 \(1\) cm, 那么当半径为 \(2\) 的时候的面积的变化率为 \(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。 这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。