一阶线性微分方程的积分因子法

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

积分因子法的基本思想就是,将方程乘以 一个函数,将方程的右边变成一个函数的导数,然后两边积分,就可以求出未知函数了。

对于 一阶线性微分方程来说,积分因子是比较好找的,因为含有未知函数的就只有两项,导数含有两项的就是两个函数的乘积了。

我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\),我们现在将它找出来。将它乘以方程两边,我们得到

\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]

因为第一项是 \(\mu(x)y’\),所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\),利用乘积求导法则,我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\),利用分离变量法,可以求出它的一个解

\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]

也就是说,这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\),将它乘以方程两边,我们得到

\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]

两边积分 ,我们得到

\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]

再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \),就得到了方程的解

\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]

这个公式 ,与我们用常数变易法求得的公式是一致的。

降阶法求二阶常系数线性微分方程的解

对于二阶常系数线性微分方程,不管是齐次的方程还是非齐次的方程,都可以用降阶法来求解。这种方法,优点有两个,第一个优点是,不管方程是齐次的还是非齐次的,都可以用统一的方法来求解;第二个优点是,对于非齐次方程来说,不管非齐次项具有什么形式,与特征根有什么关系,处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。

我们用例子来说明,怎么样用降阶法来求二阶常系数线性微分方程。

例1:求解微分方程

\[y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^x\]

解:方程可以写成

\[\begin{align*}& y ^{\prime\prime} -2y’-3y’+6y=xe^x \\ \Longrightarrow& (y ^{\prime\prime} -2y’)-3(y’-2y)=xe^x \\ \Longrightarrow & (y’-2y)’-3(y’-2y)=xe^x\\ \end{align*}\]

这时候,如果令 \(z= y’-2y \),则方程变为

\[z’-3z=xe^x\]

这是一个一阶线性微分方程,我们知道它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{3x}\left(\int e^{-3x}xe^xdx+ C_1\right)\\ &= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}\end{align*}\]

代回到原来变量,我们有

\[y’-2y= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} \]

这依然是一个一阶线性微分方程,它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} )dx+C_2\right)\\ &=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+\frac{1}{18}e^{-3x}+\frac{1}{12}e^{-3x}\\ &= C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+ \frac{5}{36}e^{-3x}\end{align*}\]

这里我们演示了如何利用降阶法来求二阶常系数线性微分方程的解。事实上,如果齐次微分方程对应的特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 有两个特征根 \(\lambda_1,\lambda_2\) (不管是不是重根,是不是实根),则微分方程

\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\]

可以写成

\[\qquad y^{\prime\prime}-(\lambda_1+\lambda_2)y’+\lambda_1\lambda_2y=f(x) \]

\[\Longrightarrow(y’-\lambda_2y)’-\lambda_1( y’-\lambda_2y )=f(x)\]

这时候,我们只需要令 \(z= y’-\lambda_2y \),就可以将二阶方程化成一阶方程了。这就是降阶法的基本思想。

我们再来看一看重根和复根的情形。

例2:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}-4y’+4y=e^{2x}\sin x\]

解:方程的特征方程为 \(r^2-4r+4=0\),它有重特征根 \(\lambda_{1,2}=2\),所以方程可以写成\[(y’-2y)’-2(y’-2y)= e^{2x}\sin x \]

作代换 \(z= y’-2y \),则方程变为 \(z’-2z= e^{2x}\sin x \),它有解

\[\begin{align*}z&=e^{2x}\left(\int e^{-2x} e^{2x}\sin x dx+C_1\right)\\ &=C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x\end{align*}\]

代回原来变量,我们得到

\[y’-2y= C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x )dx+C_2\right)\\ &=C_1xe^{2x}+C_2e^{2x}-e^{2x}\sin x\end{align*}\]

例3:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}+4y=e^x\]

解:这个方程的特征方程为 \(\lambda_{1,2}=\pm 2i\),所以方程可以分解成

\[(y’-2iy)’+2i(y’-2iy)=e^x\]

作代换 \(z= y’-2iy \),则方程变为 \(z’+2iz=e^x\),它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{-2ix}\left(\int e^{2ix}e^xdx+C_1 \right) \\ &=C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \end{align*}\]

回到原来变量,我们有

\[y-2iy= C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&= e^{2ix}\left(\int e^{-2ix}\left( C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x dx\right)+C_2 \right)\\ &=C_1e^{-2ix}+C_2e^{2ix}+\frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

这里的\(C_1\) 与第一个等式的 \(C_1\) 相差一个复数常数。应用欧拉公式(Euler 公式)\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\),上式变成

\[\begin{align*}y&=C_1(\cos 2x-i\sin 2x)+C_2(\cos 2x+i\sin 2x)+ \frac{1}{5}e^x \\ &=(C_1+C_2)\cos 2x+i(C_2-C_1)\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \\&=\tilde{C_1}\cos 2x+\tilde{C_2}\sin 2x+ \frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

我们仍然用 \(C_1,C_2\)表示 \(\tilde{C_1},\tilde{C_2}\),那么方程的通解为

\[y=C_1\cos2x+C_2\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \]

从以上的计算我们可以看出,不管特征根是单根、重根还是复根,处理的方式是一样的。而且我们也看出,我们也不需要考虑非齐次项的形式。这与我们通常采用的待定系数法有根本的区别。

这种降阶法可以应用到高阶常系数线性微分方程。事实上,这种降阶法也称之为算子法或者算子分解法。算子法更一般的处理方式,我们就不展开论述了。

如何用半角代换(万能代换)求积分?

半角代换,指的是用代换 u=\tan \frac{x}{2} 将三角函数化简的一种积分方法。 因为这个代换能将任意的三角有理函数化成有理函数,因而也称之为万能代换。我们知道,任何的有理函数都是可以求得出它的不定积分,因而所有的三角有理函数也是可以求它的不定积分。

因为所有的三角函数都可以表示成 \sin x, \cos x 的表达式,所以我们只需要知道这两个函数在半角代换下的表达式即可。我们利用三角形来导出这些表达式。因为 u=\tan\frac{x}{2},由 \tan x 的定义,我们知道三角形的关系如图

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从图形上可以看出

    \[\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}},\quad \sin\frac{x}{2}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\]

从三角恒等式

    \[\sin2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x \]

可以得到

    \[\sin x=\sin(2\cdot\frac{x}{2})=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}= \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \cdot  \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}  =\frac{u}{1+u^2} \]

    \[\cos x=\cos (2\cdot\frac{x}{2})=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+u^2}-\frac{u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}\]

最后,我们需要导出 dx 的表达式。 因为 x=2\arctan u, 所以

    \[dx=\frac{2}{1+u^2}du\]

总结起来,我们有

    \[\sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du\]

有了这些公式之后,我们就可以用半角代换来求三角有理函数的积分了。我们来看两个例子。

例1:求积分

    \[\int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x}\]

解:应用半角代换 u=\tan\frac{x}{2},我们有\sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,代入到积分里,得到

    \begin{align*} \int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x} &= \int\frac{1}{3 \frac{u}{1+u^2} -4 \frac{1-u^2}{1+u^2} }\cdot \frac{2}{1+u^2}du \\ &=2\int\frac{1}{6u-4+4u^2}du=\int\frac{1}{ 2u^2+3y-2 }du\\ &=\int\frac{1}{(2u-1)(u+2)}du\end{align*}

利用有理函数的分式分解(参考有理函数的积分),我们有

    \[ \frac{1}{(2u-1)(u+2)} =\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2u-1}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{ u+2 }\]

所以原积分变为

    \begin{align*} \int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x} &= \frac{2}{5}\int\frac{1}{2u-1}du-\frac{1}{5}\int\frac{1}{ u+2 }du \\ &=  \frac{1}{5} \ln|2u-1|-\frac{1}{5}\ln|u+1|+C \\&= \frac{1}{5}\ln\left|\frac{2u-1}{u+1}\right|+C \\ &=\frac{1}{5} \ln\left|\frac{2\tan\frac{x}{2}-1}{\tan\frac{x}{2}+1}\right|+C \end{align*}

例2:求积分

    \[\int\frac{dx}{\sin x+\tan x}\]

解:作变换 u=\tan\frac{x}{2},我们有 \sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,那么\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{u}{1-u^2},所以原积分为

    \begin{align*} \int\frac{dx}{\sin x+\tan x}  &= \int\frac{1}{\frac{u}{1+u^2}+\frac{u}{1-u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du\\ &=\int\frac{1-u^2}{2u}du=\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{4}u^2+C\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2}+C\end{align*}

如何求 \(\tan^nx, \sec^nx\) 的积分?

形如 \[\int\tan^xdx, \int\cot^nxdx, \int\sec^nxdx, \int\csc^nxdx\]

的积分,基本上可以通过换元法或者分部积分法得出一个递推式,然后用递推法求得出它们的积分。这种类型的积分,递推式比较容易求得。我们来看看怎么做

\[\begin{align*}I_n&=\int\tan^nxdx\\ &=\int\tan^{n-2}x\tan^2xdx\\ &=\int \tan^{n-2}x(\sec^2x-1)dx\\ &=\int \tan^{n-2}x\sec^2x-\int\tan^{n-2}xdx\\ &=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2} \end{align*} \]

再由

\[\int\tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C\]

和 \[\int\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)dx=\tan x-x+C\]

即可求出积分。例如

\[\begin{align*}\int\tan^5xdx&=\frac{1}{4}\tan^4x-\int\tan^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -(\frac{1}{2}\tan^2x -\int\tan xdx)\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -\frac{1}{2}\tan^2x- \ln|\cos x|+C \end{align*}\]

\[\begin{align*} \int\tan^6xdx&=\frac{1}{5}\tan^5x-\int\tan^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -(\frac{1}{3}\tan^3x -\int\tan^2 xdx)\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -\frac{1}{3}\tan^3x+ \tan x-x+C \end{align*}\]

对于 \(\cot^nx\) 的积分,同样的处理即可。

我们现在来看 \(\sec^nx, \csc^nx\) 的积分。这里需要用到分部积分法

\[\begin{align*}I_n=\int\sec^nxdx&=\int\sec^{n-2}x\sec^2xdx\\ &=\sec^{n-2}\tan x-\int\tan x(n-2)\sec^{n-3}x\tan x\sec xdx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x\tan^2 x\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x (\sec^2x-1)dx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n}xdx +(n-2)\int\sec^{n-2}xdx \end{align*}\]

将右边\( (n-2)\int\sec^{n}xdx \)移项到左边,我们得到

\[(n-1)I_n= \sec^{n-2}\tan x +(n-2)I_{n-2}\]

也就是 \[I_n=\frac{1}{n-1} \sec^{n-2}\tan x +\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]

再由

\[\int\sec xdx=\ln|\tan x+\sec x| +C\]

和 \[\int\sec^2xdx=\tan x+C\] 就可以求出积分。例如

\[\begin{align*}\int\sec^5xdx&=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}\int\sec^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}\sec x \tan x+\int\sec x dx\right)\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{4} \ln|\tan x+\sec x| +C \end{align*}\]

另外一个

\[\begin{align*}\int\sec^6xdx&=\frac{1}{5}\sec^4x\tan x+\frac{4}{5}\int\sec^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{4}{5} \left(\frac{2}{3}\sec^2 x \tan x+\int\sec^2 x dx\right)\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{8}{15} \sec^2 x \tan x +\frac{4}{5} \tan x+C \end{align*}\]

如何求 \(\sin^n x, \cos^n x\) 的积分?

\(\sin^n x\) 和 \(\cos^n x\) 的积分方法主要有两种:第一种是根据 \(n\) 的奇、偶情况分别采用换元法或者降阶法来求;另一种是递推法。

我们来看换元法和降阶法。设 \(n\) 是奇数,则我们采用换元法。例如

\[\begin{align*}\int\sin^5xdx&=\int\sin^4x\sin xdx\\ &=\int(1-\cos^2x)^2(-\cos x)’dx\\ &=-\int(1-2\cos^2x+\cos^4x)d(\cos x)\\ &=-\int(1-2u^2+u^4)du\\ &=-(u-\frac{2}{3}u^3+\frac{1}{u^5})+C\\ &= \frac{2}{3} \cos^3x-\cos x-\frac{1}{5}\cos^5x+C\end{align*}\]

对于 \(\cos^nx\) 同样处理。

如果 \(n\) 是偶数,则使用降阶法。我们知道 \(\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}, \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\)。所以

\[\int\sin^nxdx=\int\left( \frac{1-\cos(2x)}{2} \right)^{n/2}dx\]

\[ \int\cos^nxdx=\int\left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^{n/2}dx \]

从而使被积函数的阶降了一半。

例如

\[\begin{align*}\int\cos^4xdx&=\int \left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^2dx \\ &=\frac{1}{4}\int\left(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\right)dx\\ &= \frac{1}{4}\int\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right)dx\\ &= \frac{1}{4}\left(x+\sin(2x)+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin(4x)\right)+C \end{align*}\]

第二种方法就是递推法。这种方法的好处是可以不管 \(n\) 的奇偶性,对任何的自然数 \(n\) 都可以用。利用分部积分法

\[\begin{align*}\int\sin^nxdx&=\int\sin^{n-1}x\sin xdx\\ &=-\sin^{n-1}x\cos x+\int(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\cos xdx\\ & = -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2xdx\\ &= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int \sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\\ &= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int (\sin^{n-2}x-\sin^nx)dx \end{align*}\]

将右边的 \(\int\sin^nxdx\) 移到左边,我们得到

\[n\int\sin^nxdx= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int \sin^{n-2}xdx \]

如果记 \(I_n=\int\sin^nxdx\),则上式为

\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2} \]

那么只要给出 \(n\) 的值,我们就可以利用这个公式以及

\[\int\sin^0xdx=x+C, \quad \int\sin xdx=-\cos x+C\]



求出积分的值。

我们来看这个公式的应用。

\[\begin{align*}\int\sin^5xdx&= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x+\frac{4}{5}\int\sin^3xdx\\ &= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x +\frac{4}{5} \left(-\frac{1}{3}\sin^2x\cos x+\frac{2}{3}\int\sin xdx\right)\\ &= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x -\frac{4}{15} \sin^2x\cos x -\frac{8}{15}\cos x+C \end{align*}\]

\(\int\cos^nxdx\) 可以完全同样的方式处理。我们有

\[\begin{align*}\int\cos^n xdx&=\int\cos^{n-1}x\cos xdx\\ &=\cos^{n-1}x\sin x+\int(n-1)\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\ &= \cos^{n-1}x\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)dx \\ &= \cos^{n-1}x\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}xdx- (n-1) \int\cos^nxdx\end{align*}\]

所以

\[\int\cos^nxdx=\frac{1}{n} \cos^{n-1}x\sin x + \frac{n-1}{n} \int\cos^{n-2}xdx\]

例如

\[\begin{align*}\int\cos^4xdx&=\frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{2}{3} \int\cos^2xdx\\ &= \frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{2}{3} \left(\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int\cos^0xdx\right)\\ &= \frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{1}{3} \cos x\sin x +\frac{1}{3}x+C \end{align*}\]

有理函数的积分,并非只有部分分式法

这篇文章我们考虑两个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx,\qquad \int\frac{x^2-1}{x^4+1}\]

这是两个有理函数的积分。我在之前的文章里说过 ,有理函数的积分,一般采用部分分式法,就是将有理函数分解成四种简单分式之和,然后对简单分式分别积分就行。对于有理函数的积分,总是能采用这种方法求得出它们的积分 (参见 不定积分求法总结)。 读者可以先试试用部分分式法求这两个积分,看看能不能积出来,需要花费多长时间。

我们的问题是,部分分式积分法对有理函数并不总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。我们来看第一个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx\]

对于这一个积分 ,如果采用部分分式法来积分 ,我们来看一下需要哪些步骤:

\[ \frac{1}{x^7-x} =\frac{1}{x(x^3-1)(x^3+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}\]

那么它的部分分式就该有五部分

\[\frac{A_1}{x}, \frac{A_2}{x-1},\frac{A_3}{x+1},\frac{B_1x+C_1}{x^2+x+1},\frac{B_2x+C_2}{x^2-x+1}\]

光是求这些系数就够烦琐的了,而且最后两个二次分式的积分还需要分成两个积分来求 。虽然这也能求出最后的积分,但这中间的过程绝不是一件有趣的事。

其实,这样的积分 ,我们有一种更有效,更简单的方式来求。我们来看解答。

解:积分可以写成

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx=\int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx\]

如果我们令 \(u= 1-\frac{1}{x^6} \),则 \(du=\frac{6}{x^7}\),则上式变为

\[\begin{align*} \int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx &=\frac{1}{6}\int\frac{6}{x^7}\frac{1}{1-\frac{1}{x^6}}dx\\ &= \int\ \frac{1}{6}\frac{1}{u}du\\ &=\frac{1}{6}\ln|u|+c \\ &=\frac{1}{6}\ln|1-\frac{1}{x^6}|+c\end{align*}\]

我们来看第二个例子。

\[\int\frac{x^2-1}{x^4-1}dx\]

解:这个积分初看起来,甚至都不知道怎么对分式进行分解(当然是可以进行分解的,只是不那么明显而已,你可以试一试)。但即使是我们找到了它的分解方式,使用部分分式法来求这个积分,也不是最有效的。 我们来看一下如何简便地求出这个积分。我们先对分子分母同除以 \(x^2\),得到了

\[\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\]

再对分母配方,我们得到

\[\int\frac{ 1-\frac{1}{x^2} }{(x+\frac{1}{x})^2-2}dx\]

这个时候注意到 \(\left( x+\frac{1}{x} \right)’= 1-\frac{1}{x^2} \),所以我们可以用代换 \(u= x+\frac{1}{x} \),从而积分可以变成

\[\int\frac{du}{u^2-2}\]

这时候我们再用部分分式 \[ \frac{1}{u^2-2}=\frac{1}{(u-\sqrt{2})(u+\sqrt{2})}=\frac{A}{u-\sqrt2}+\frac{B}{u+\sqrt2} \]

求出 \(A,B\),我们得到 \(A=\frac{1}{2\sqrt2}, B=-\frac{1}{2\sqrt2}\)。所以积分 变为

\[ \begin{align*}\int\frac{du}{u^2-2} &= \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u-\sqrt2}- \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u+\sqrt2}\\ &= \frac{1}{2\sqrt2}( \ln|u-\sqrt2|+\ln|u+\sqrt2|)+C\\ &= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2} \right|+C \end{align*}\]

代回原来变量,我们得到了

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt2}{x+\frac{1}{x}+\sqrt2} \right|+C \]

最后,我们看看,如果要用部分分式法求解,如何对被积函数进行分解。我们对分母进行配方

\[\begin{align*}\frac{x^2-1}{x^4+1}&=\frac{x^2-1}{(x^4+2x^2+1)-2x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2-2x^2}\\ &= \frac{x^2-1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1-\sqrt{2}x)}\\ &= \frac{A_1x+B_1}{x^2+1-\sqrt{2}x}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1-\sqrt{2}x} \end{align*}\]

剩下的部分留给读者去完成 。

已知函数的切线过曲线外一点,如何求该切线的方程?

假如函数\(y=f(x)\) 的一条切线过点 \((a,b)\),如何求这条切线的方程?

这样的题通常有点迷惑性,有些同学经常是求出函数的导数后,想都不想就把 \((a,b)\) 的值代入到切线的方程里去,自然就求出了一个错误的方程。另外,这样的题也稍微有一点难度,纵然知道怎么求,也需要花一点点时间来计算。

我们用一个例子说明如何求这样的切线。

例:已知曲线 \(y=\frac{1}{x}\) 的切线过点 \((4,0)\) ,求该切线的方程。

解:这种题的迷惑性在于,它并没有直接说点 \((4,0)\) 不在曲线上,这使得不少的同学直接把它当成直线上的点来计算切线的方程。当然这个例子,比较明显这个点不在直线上。那我们来看一看如何处理这种题型。

我们假设切线与曲线相切于点 \((x_0,y_0)\),则切线的方程为

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]

我们求出函数的一阶导数为 \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。所以曲线在该点的切线方程为

\[ y-y_0=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0) \]

因为 \((x_0,y_0)\) 在曲线上,所以有 \(y_0=\frac{1}{x_0}\),所以切线方程为

\[y= -\frac{x}{x_0^2}+\frac{2}{x_0} \]

又因为切线过点 \((4,0)\) ,所以切线方程又可以写成

\[ y= -\frac{1}{x_0^2}(x-4) \]

将这两个方程比较 ,我们得到

\[ \frac{2}{x_0} = \frac{4}{x_0^2} \]

两边同乘以 \(x_0^2\),我们得到 \(x_0=2\),代入到上面任何一个切线方程里,就可以得到切线的方程为

\[y=-\frac{1}{4}x+1\]

对于这种类型的题目,关键步骤是求出切点的坐标。求切点坐标的方法就是将用导数给出的切线方程与用已给点导出切线方程做比较。只要求出切点,切线的方程就出来了。

当旋转轴不是坐标轴时,如何求旋转体的体积?

我们知道,\(y=f(x), a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转时,我们用切片法(参见切片法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b \pi f^2(x)dx\]

当它绕 \(y\) 轴旋转时,我们用圆桶法(参见圆桶法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b2\pi xf(x)dx\]

同样的分析,我们可以求得 \(x=g(y), c\le y\le d\) 分别绕 \(x\) 轴和 \(y\) 轴旋转时的旋转体体积

\[V_x=\int_c^d2\pi y g(y)dy,\quad V_y=\int_c^d\pi g^2(y)dy\]

那么,如果旋转轴不是坐标轴,那旋转体的体积怎么算呢?我们可以同样用切片法或者圆桶法来求得它们的体积。我们用例子来说明这些方法。

例1,求由曲线 \(y=x, y=\sqrt{x}\) 所围成的图形分别绕 \(y=-1\) 和 \(x=-1\) 旋转所得的旋转体的体积。

解:我们先求绕 \(y=-1\) 旋转的旋转体的体积。我们可以用外层的曲线旋转围出来的体积减去内层曲线旋转围出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\),外层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=x+1\), 内层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=\sqrt{x}+1\),所以由切片法, 我们得到旋转面的面积为

\[V_x=\pi\int_0^1[(x+1)^2-(\sqrt{x}+1)^2]dx\]

现在我们用圆桶法求绕 \(x=-1\) 旋转所得的体积。我们还是用外层曲线绕出来的体积减去内层曲线绕出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\), 圆桶的内径为 \(x-(-1)=x+1\),外径为 \(x+\Delta x-(-1)=x+1+\Delta x\),高为 \(x-\sqrt{x}\) (上曲线减下曲线)所以圆桶壁的体积近似为

\[\pi( x+1+\Delta x )^2( x-\sqrt{x} )- \pi( x+1 )^2( x-\sqrt{x} )=2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x+\pi\Delta^2x( x-\sqrt{x} ) \]

略去高阶无穷小,圆桶壁的体积近似于

\[ 2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x \]

求和之后再求极限,就是定积分

\[V_y=\int_0^12\pi(x+1)( x-\sqrt{x} )dx\]

高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的\(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当\(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 为 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 \(x\) 不断靠近 \(a\) 的时候, \(f(x)\) 无限靠近 \(A\),我们就说 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta>0\), 使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

如何求隐函数(implicit functions)的二阶导数?

我们知道,求隐函数的二阶导数,方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,然后利用复合函数的求导法则,得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程,解这个方程,就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么,问题是,对于隐函数的二阶导数,我们是不是还要这样求呢?其实不必了,因为我们求出来一阶导数,它有个具体的表达式,我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\),那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数,它对 \(x\) 的导数是已知的(我们求一阶导数的时候就得到它了)。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例:设 \(xy+y^2=2\) ,求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.\]

再对 \(x\) 求导,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}.\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入,并化简,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]