初等变换技巧总结

总有同学问,初等变换有什么技巧吗?其实,初等变换已经是线性代数里最简单有效的技巧了,当然,它本身还是有一点点技巧的,应用这些技巧,可以让你的初等变换变得容易那么一点点。

初等变换的技巧并不多,总结起来,就这么三条:

  1. 逐列进行。如果是要化成三角形,第一步,将第一列除第一个元素外,全部化成0;接着,将第二列的第二个元素下方的全部化成 0 ;依此下去,直到最后一列。如果是化成行阶梯形,也是先从第一列开始,将第一个元素的下方全部化成 0 ;然后第二列,第三列等等。

    如果是要化成行最简,那么化成阶梯形后,再从最后一个阶梯开始,将每个阶梯的第一个非 0 元的上方化成,依次往前进行。

  2. 找最简单的数字。每次化简前,将最简单的数字所在的行交换到基础行。所谓基础行(这是我给的定义,呵呵),对于三角形来说,就是主对角线元素所在的行,例如,现在要化简第三列,那么第三行就是基础行,因为我们要将第三行第三列元素的下方都化成 0 。如果是要化成阶梯形,那么基础行就是已经化完了的行的下一行。
  3. 耐心。不要着急,因为初等变换要做很多数字的四则运算,很容易出错,也很容易让人厌倦,所以这时候耐心很重要。耐心才不容易出错。

现在我们来看一个例子,说明一下怎么用这两个原则,逐列进行与找最简单的数字。

例 1:将矩阵化成行最简矩阵
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

解:我们来看,这个矩阵怎么运用前面所说的两个法则。逐列进行,那么就是从第一列开始,将第一个元素的下方全部变成 0 。然后再第二列,第三列等等。来看第一列,第一列里最简单的数字是 1 ,所以将 1 所在的行交换到第一行(基础行),我们得到
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

然后,将下方的数字全部变成 0 ,那么将第一行乘以 -2 加到第二行,乘以 -3 加到第三行,乘以 -2 加到第四行,得到
\[
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}
\]

现在第一列化完了,该化第二列了。我们看到,第二列里,最简单的是 -1,它就在第二行里,就不用交换了。现在将第二行乘以 -8 加到第三行,乘以 -7 加到第四行,得到

\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}
\]

现在该第三列了。但是因为第三列里,第三个元素之后都是 0 ,所以从阶梯形的定义,我们不需要对它进行运算。阶梯形里,第三个阶梯的第一个非 0 元在第四列,所以下一个是第四列,第四列里,第三个元素是 1 ,所以也不用交换行了,将第三行乘以 -1 加到第四行,就得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

现在已经是行阶梯形了,如果要化成行最简,那么每一个阶梯的第一个非 0 元的上方也应该化成 0 。这个时候,就是从最后一个阶梯开始。我们看,最后一个阶梯的第一个非 0 元在第四列,第三行。所以,将第三行乘以 -1 加到第二行,乘以 2 加到第一行,我们得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

同理,将第二行乘以 2 加到第一行,得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

最后,将每一个阶梯的第一个非 0 元化成 1 。为此,只需要将第二行乘以 -1 ,我们的工作就完成了。
\[\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&1&-1&0&3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]