对于二阶常系数线性微分方程，不管是齐次的方程还是非齐次的方程，都可以用降阶法来求解。这种方法，优点有两个，第一个优点是，不管方程是齐次的还是非齐次的，都可以用统一的方法来求解；第二个优点是，对于非齐次方程来说，不管非齐次项具有什么形式，与特征根有什么关系，处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。
对于二阶常系数线性微分方程，不管是齐次的方程还是非齐次的方程，都可以用降阶法来求解。这种方法，优点有两个，第一个优点是，不管方程是齐次的还是非齐次的，都可以用统一的方法来求解；第二个优点是，对于非齐次方程来说，不管非齐次项具有什么形式，与特征根有什么关系，处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。
我们用例子来说明，怎么样用降阶法来求二阶常系数线性微分方程。
例1：求解微分方程
\[y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^x\]
解：方程可以写成
\[\begin{align*}& y ^{\prime\prime} -2y’-3y’+6y=xe^x \\ \Longrightarrow& (y ^{\prime\prime} -2y’)-3(y’-2y)=xe^x \\ \Longrightarrow & (y’-2y)’-3(y’-2y)=xe^x\\ \end{align*}\]
这时候，如果令 \(z= y’-2y \)，则方程变为
\[z’-3z=xe^x\]
这是一个一阶线性微分方程，我们知道它的解为
\[\begin{align*}z&=e^{3x}\left(\int e^{-3x}xe^xdx+ C_1\right)\\ &= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}\end{align*}\]
代回到原来变量，我们有
\[y’-2y= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} \]
这依然是一个一阶线性微分方程，它的解为
\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} )dx+C_2\right)\\ &=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+\frac{1}{18}e^{-3x}+\frac{1}{12}e^{-3x}\\ &= C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+ \frac{5}{36}e^{-3x}\end{align*}\]
这里我们演示了如何利用降阶法来求二阶常系数线性微分方程的解。事实上，如果齐次微分方程对应的特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 有两个特征根 \(\lambda_1,\lambda_2\) （不管是不是重根，是不是实根），则微分方程
\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\]
可以写成
\[\qquad y^{\prime\prime}-(\lambda_1+\lambda_2)y’+\lambda_1\lambda_2y=f(x) \]
\[\Longrightarrow(y’-\lambda_2y)’-\lambda_1( y’-\lambda_2y )=f(x)\]
这时候，我们只需要令 \(z= y’-\lambda_2y \)，就可以将二阶方程化成一阶方程了。这就是降阶法的基本思想。
我们再来看一看重根和复根的情形。
例2：求方程的通解：
\[y^{\prime\prime}-4y’+4y=e^{2x}\sin x\]
解：方程的特征方程为 \(r^2-4r+4=0\)，它有重特征根 \(\lambda_{1,2}=2\)，所以方程可以写成\[(y’-2y)’-2(y’-2y)= e^{2x}\sin x \]
作代换 \(z= y’-2y \)，则方程变为 \(z’-2z= e^{2x}\sin x \)，它有解
\[\begin{align*}z&=e^{2x}\left(\int e^{-2x} e^{2x}\sin x dx+C_1\right)\\ &=C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x\end{align*}\]
代回原来变量，我们得到
\[y’-2y= C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x \]
它的解为
\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x )dx+C_2\right)\\ &=C_1xe^{2x}+C_2e^{2x}-e^{2x}\sin x\end{align*}\]
例3：求方程的通解：
\[y^{\prime\prime}+4y=e^x\]
解：这个方程的特征方程为 \(\lambda_{1,2}=\pm 2i\)，所以方程可以分解成
\[(y’-2iy)’+2i(y’-2iy)=e^x\]
作代换 \(z= y’-2iy \)，则方程变为 \(z’+2iz=e^x\)，它的解为
\[\begin{align*}z&=e^{-2ix}\left(\int e^{2ix}e^xdx+C_1 \right) \\ &=C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \end{align*}\]
回到原来变量，我们有
\[y-2iy= C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \]
它的解为
\[\begin{align*}y&= e^{2ix}\left(\int e^{-2ix}\left( C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x dx\right)+C_2 \right)\\ &=C_1e^{-2ix}+C_2e^{2ix}+\frac{1}{5}e^x \end{align*}\]
这里的\(C_1\) 与第一个等式的 \(C_1\) 相差一个复数常数。应用欧拉公式（Euler 公式）\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)，上式变成
\[\begin{align*}y&=C_1(\cos 2x-i\sin 2x)+C_2(\cos 2x+i\sin 2x)+ \frac{1}{5}e^x \\ &=(C_1+C_2)\cos 2x+i(C_2-C_1)\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \\&=\tilde{C_1}\cos 2x+\tilde{C_2}\sin 2x+ \frac{1}{5}e^x \end{align*}\]
我们仍然用 \(C_1,C_2\)表示 \(\tilde{C_1},\tilde{C_2}\)，那么方程的通解为
\[y=C_1\cos2x+C_2\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \]
从以上的计算我们可以看出，不管特征根是单根、重根还是复根，处理的方式是一样的。而且我们也看出，我们也不需要考虑非齐次项的形式。这与我们通常采用的待定系数法有根本的区别。
这种降阶法可以应用到高阶常系数线性微分方程。事实上，这种降阶法也称之为算子法或者算子分解法。算子法更一般的处理方式，我们就不展开论述了。
