如何判定一个复级数是否为条件收敛(conditional convergence)?

我们知道,如果一个复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 的绝对值级数(每一项取模)

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\]

收敛,则级数本身是收敛的。现在的问题是,如果绝对值级数不收敛,如何判定一个复级数是否收敛,也就是条件收敛问题。

从复级数收敛的定义,我们可以知道, 一个复级数收敛,就是它的实部和虚部都收敛。由此我们知道,一个复级数是条件收敛,要么就是实部和虚部都是条件收敛,要么就是其中一个条件收敛,另一个绝对收敛。所以我们只需要应用实级数的收敛性判别法就可以了。

我们来看两个例子:

例1:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\]

的敛散性。

解:我们知道

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]

是发散的,所以级数不是绝对收敛。很显然,这个级数即有实数部分,也有虚数部分。我们将其分解成实部与虚部

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k}}{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i(-1)^{k}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k}\]

由交错级数的莱不尼兹判别法,实部和虚部都是收敛的,从而级数本身是收敛的。所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\) 条件收敛。

 

例2:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}\]

的敛散性。

解:因为 \(|z_n|=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^{2n}}}>\frac{1}{n}\),由正项级数的比较判别法,级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}|\) 发散。也就是说,原级数不是绝对收敛。但是我们知道,\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\) 条件收敛,而\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) 绝对收敛,所以原级数条件收敛。

如何确定孤立奇点(isolated singularities)的类型?

复变函数中,孤立奇点的类型分为三种:可去奇点,极点和本性奇点。极点又可以分为简单极点和 \(m\) 阶极点。它们是根据函数的罗朗级数(Laurent Series)来定义的。我们设 \(a\) 为函数 \(f(z)\) 的奇点。

  • 可去奇点(removable sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式没有负指数项,则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 简单极点(simple pole):函数在\(a\) 处的罗朗级数展开式只有一项负指数项 \(c_{-1}(z-a)^{-1}\),则 \(a\) 为函数的简单极点;
  • \(m\) 阶极点(pole of order \(m\)):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式只有有限项负指数项,且\(a_{-m}\ne 0\) 而且对所有 \(n>m\),\(a_{-n}=0 \), 则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 本性奇点(essential sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式有无限项负指数项,则则 \(a\) 为函数的本性奇点。

事实上,如果每次需要用罗朗级数来确定奇点的类型,还是不很方便的。首先我们有一些非常简便的方式,就是用极限来判定是可去奇点、极点还是本性奇点。

  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=L\)为有限,那么 \(a\) 是函数的可去奇点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=\infty\),则 \(a\) 是函数的极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)\)既不是有限,也不是无穷大;也就是极限不存在,则\(a\) 是函数的本性奇点。

另外,对于极点,我们还有以下几种判定方法:

用极限来判定:

  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用函数的表达式来判定:

  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{z-a}\) 而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m}\),而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用零点的类型来判定:

  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的单根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的简单极点;
  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的 \(m\) 重根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的 \(m\) 阶极点;

我们用几个例子来说明如何利用上面所说的一些方法来判定奇点的类型。

例1:\(f(z)=\frac{z}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的可去奇点,因为

\[\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1.\]

(回顾一下 \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\) 或者 l’Hospital 法则)。

例2: \(f(z)=\frac{1}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的简单极点,因为

\[\lim_{z\to 0}zf(z)=\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1\]

例3:函数 \(f(z)=\frac{5z+1}{(z-1)(2z+1)^2}\) 以 \(z=1\) 为简单极点,以\(-\frac{1}{2}\) 为二阶极点。

有时候,结合罗朗级数和上面几种判定方式,会更快捷有效。我们来看一个这样的例子。

例4:判定函数 \(f(z)=\frac{1}{z(e^z-1)}\) 的奇点类型。

解:我们知道 \(z=0\) 是函数的奇点。我们将 \(e^z\) 展开后得到

\[e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots,\qquad |z|<\infty\]

所以

\[z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots).\]

由于 \(\frac{1}{f(z)}=z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots)\),可知 \(0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 二重根,所以 \(0\) 是 \(f(z)\) 的二阶极点。

怎样求复变函数的积分?

对于复变函数的积分的求法,不少同学相当迷惑,因为方法太多了。我们来总结一下,有哪些求复变函数积分的方法,这些方法的应用范围又是怎样的。

大体上讲,复变函数的积分方法有以下几种:

第一,直接积分方法。就是将曲线化成参数方程,然后化成定积分来求。如果我们求积分

\[\int_Lf(z)dz\]

那么先求得曲线 \(L\) 的参数方程 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么 \(z=x+iy\),\( f(z)=f(x+iy)=f(phi(t)+i\psi(t))\),\(dz=\phi'(t)dt+i\psi'(t)dt\),所以积分变成

\[\int_Lf(z)dz=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t)+i\psi(t))(\phi'(t)+i\psi'(t))dt\]

然后运用求定积分的方法来求即可。

第二种方法就是运用柯西(Cauchy)积分公式来求。如果积分具有形式\(\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz\) 或者 \(\int_L \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\),并且 \(L\) 是一个闭曲线, \(z_0\) 位于闭曲线的内部,则可以直接运用柯西(Cauchy)积分公式

\[\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)\]

或者

\[\int_L \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi if^{n}(z_0)}{n!}.\]

第三种方法就是利用留数定理。如果积分 \(\int_Lg(z)dz\) 不能直接写成 \(\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz\) 的形式,但是函数本身在曲线的内部不是解析的,而同时它的罗朗级数(Laurent Series)可以求得,那么运用留数定理

\[\int_Lg(z)dz=2\pi i Res(z_0, g(z))=2\pi i c_{-1}\]

其中 \(c_{-1}\) 是函数的罗朗级数展开式的关于 \(\frac{1}{z-z_0}\) 那一项的系数。

最后一种方法,就是利用积分与路径无关的性质。如果函数在某个区域内解析,而且积分路径从位于这个区域内,

\[\int_Lf(z)dz=F(z_1)-F(z_0)\]

其中,\(F(z)\) 是 \(f(z)\) 的原函数,\(z_0\) 和 \(z_1\) 分别是曲线的起点与终点。

复变函数(Complex Variables)学些什么?

复变函数,实际上就是复数函数的微积分理论。这门课程就是逐步建立起复数域上的微积分理论。它的内容主要是以下几个部分。

1,复数的运算。复数的平面表达式 \(z=x+iy\),极坐标表达式\(z=re^{i\theta}\),复数的模(norm)\(|z|\),共轭复数(conjugate),曲线的复数表达式等等;

2,复数函数的定义与性质。例如指数函数 \(e^z\),三角函数\(\sin z, \cos z, \tan z\), 对数函数 \(\log z\),幂函数 \(z^n\),根式函数 \(\sqrt[n]{z}\) 等函数的定义与性质,它们的定义域,值域,取值等等;

3,复数函数的导数的定义,可导的条件;Cauchy-Riemann 方程以及函数可导的条件;

4,复数函数的积分运算;Cauchy 积分公式的及其各种应用;

5,复数函数的级数定理,Taylor 级数与 Laurent 级数;

6,复数函数的映射,或者函数的图形性质。共形映射定理。

通常初等的复函数课程不太可能讲共形映射定理,但一般的函数的映射会讲。

这门课程很多内容可以直接看成是实函数的微积分在复数域上的推广,这一部分的内容不难,例如求导公式 \((\sin z)’=\cos z, (e^z)’=e^z\), 可微函数的Taylor 级数,可微函数的积分,都跟实函数差不多。

但是这门课程的核心内容却是与实函数不一样的地方。例如 Cauchy 积分公式,Laurent 级数和共形映射。在初等的复变函数中,Cauchy 积分公式及其应用和 Laurent 级数占了这门课程的大部分比重。可以说,掌握了这两部分的内容,你就差不多掌握了这门课程。