我们这里考虑的是函数序列的一致收敛问题。
区间 \([a,b]\) 上的函数序列 \(\{f_n\}\) 被称为是一致收敛到\([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，指的是对于任意的 \(\epsilon>0\)，存在不依赖于 \(x\) 的 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，不等式\(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\)对于所有 \(x\in [a,b]\)成立。
从定义可以看到，要证明序列是一致收敛的，我们就要找到 \(N\)，使得不等式\(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 当 \(n>N\)时对于所有 \(x\in [a,b]\)成立。这个 \(N\) 可以依赖于 \(n\) 和 \(\epsilon\)，但不能依赖于 \(x\)。我们看一个例子：
例1：考虑 \(f_n(x)=\frac{x}{1+nx}, x\ge 0\)。因为
\[0< \frac{x}{1+nx}< \frac{x}{nx}\le \frac{1}{n}\] 所以只要 \(n>\frac{1}{\epsilon}\)，\(|f_n(x)-0|<\epsilon\)。我们只需要取 \(N=[\frac{1}{\epsilon}]+1\)，对么当 \(n>N\)时，\(|f_n(x)-0|<\epsilon\)对于所有 \(x\) 成立。所以 \(f_n(x)\) 一致收敛到 \(0\)。
要证明序列不一致收敛，并不是一件容易的事。当然，从定义可以看到，要证明序列不一致收敛，只需要找到一个 \(\epsilon\)，使得不等式\(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 对某些 \(x\) 不成立即可。我们还是用一个例子来说明这种做法。
例2：考虑函数序列 \(f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}, 0\le x\le 1\)。可以看出，这个序列收敛于 \(f(x)=0\)， 因为
\[\frac{nx}{1+n^2x^2}< \frac{nx}{n^2x^2}=\frac{1}{nx}\] 所以只要 \(n>\frac{1}{x\epsilon}\)，\(\frac{nx}{1+n^2x^2}<\epsilon\)。所以函数逐点收敛到 \(0\)。
现在取 \(\epsilon=\frac{1}{2}\)，那么在区间\([0,1]\)上，总有一点 \(x=\frac{1}{n}\)，使得函数值 \(f_n(x)=\frac{1}{2}\)。在这点上 \(f_n(x)<\frac{1}{2}\)是不成立的。所以函数序列不一致收敛。