分类： 多元微积分

一般来说，向量场的曲线积分

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\]的计算方法主要有三种：直接计算，格林公式（Green’s Theorem）和Stokes 公式（Stokes’ Theorem）。每种方法，针对不同的情形，有不同的处理方法。我们针对这些情形分别进行讲解。

1，直接计算法：我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式，将曲线积分化成定积分来计算。

• 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\) （三维）或者 \( \vec{r}(t)=\{x(t),y(t)\} \)（二维）给出，\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)，其中 \(t=\alpha\) 对应起点， \(t=\beta\) 对应终点，那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\alpha}^{\beta}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt,\]其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是，这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小，起点就是在下限，终点在上限，这一点跟对弧长的曲线积分不同。 例如 \(\vec{F}=\{z,y,-x\}=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}\)， \(L\) 由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{t,\sin t, \cos t\}\)， \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\),那么积分\[\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, -t)\cdot(1,\cos t,-\sin t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(\cos t+\sin t\cos t+t\sin t)dt\end{align*}.\]剩下的部分就是计算定积分了。
• 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\)， \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)，那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot(1,f'(x))dx,\]

2，若 \(L\) 是平面曲线，则可以用格林公式（Green’s Theorem）来计算。

• 若 \(L\) 是平面闭曲线，且在曲线内部 \(\vec{F}\) 有一阶连续偏导数（就是每个分量都有一阶连续偏导数），这种情况可以直接应用格林公式；
• 若 \(L\) 是平面闭曲线，但是在曲线内部 \(\vec{F}\) 有奇点（一阶偏导数不存在或者不连续），这种情况我们通过添加辅助线，将奇点挖掉，然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去，就得到了原来的曲线积分的值；
• 若 \(L\) 是平面开曲线，我们可以通过添加简单的辅助线（为了方便计算），使新的曲线成为一个简单闭曲线，然后应用格林公式，最后减去辅助线上的积分，就得到原曲线积分的值。

这一部分讲解起来内容比较多，可以看我们的视频教程：如何应用格林公式(Green’s Theorem) 求曲线积分

3，若 \(L\) 是一个空间闭曲线，则可应用Stokes 公式，将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上，可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。（因为以 \(L\) 为边界的曲面很多，我们可以选择最简单的曲面。）理论上来说，空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式，但一般来说，这样的计算相对繁琐，我们一般不考虑。这部分的内容可以观看视频：Stokes 定理

这三种方法是最常用的方法，当然还有一些其它的方法，例如积分与路径无关，全微分求积等等，但这些方法基本上是从三大定理推导出来的。除了直接计算的方法以外，我们只需要掌握三大定理的应用，曲线积分和曲面积分的部分就算是掌握了。

• 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\)，那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算；
• 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\)，那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\] 从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算；
• 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出，则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。

函数展开成幂级数的一般方法是;

1. 直接展开；对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式；例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
3. 通过变形来利用已知的函数展开式；例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数，我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数，然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\)，而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\)，从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式；例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\)，它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)，而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\)，所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式：

1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)

级数判敛的方法众多，总结起来就有比较判别法，比较判别法的极限形式，比值判别法，根值判别法，极限判别法，积分判别法，交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数，应该应用哪一种方法最有效，这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试，那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。

判定一个级数是否收敛的关键，在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下，哪些形式应用哪些判别法则。

1. 如果一眼能看出一般项的极限不趋于 \(0\)，即 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0\)，则级数发散；
2. 如果级数具有形式 \(\sum 1/n^p\)，那么就是一个 \(p-\) 级数。当 \(p\le1\) 时发散，当 \(p>1\) 时收敛；
3. 如果级数具有形式 \(\sum a r^n\), 那么就是一个几何级数。当 \(|r|\ge1\) 时发散，当 \(|r|<1\) 时收敛；

这两种级数是最基本的级数，后面的几种判别法，差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。

1. 如果级数的一般项是 \(n\) 的一个代数式（有理分式或者无理分式），那么该级数与某个 \(p-\)级数同敛散（极限判别法或者比较判别法的极限形式）。我们只需要在分式中保留关于 \(n\) 的最高阶项，所得到的项就是这个 \(p-\) 级数的一般项。例如，级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}\)，它的一般项 \(\displaystyle\frac{1}{n^2+n+1}\sim \frac{1}{n^2}\)，所以它与级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 同敛散。在这里，我们将级数的一般项关于 \(n\) 的最高阶项保留，就得到 \(1/n^2\)，所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 就是我们要寻找的那个比较级数 。再如 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim \frac{1}{n}, (n\to \infty)\)，所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 发散；
2. 或者，简单地说，就是如果一个级数的一般项等价于一个 \(p-\) 级数的一般项，则级数与该 \(p-\) 级数同敛散；
3. 同上，如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项，则级数与该几何级数同敛散；
4. 如果级数含有 \(n!\) ，则比值判别法比较有效。 需要注意的是，比值判别法对 \(p-\) 级数失效，因而对任何级数一般项 \(n\) 的代数式的级数也失效；
5. 如果级数的一般项 \(a_n=(b_n)^n\)， 则首先考虑根值判别法；
6. 如果级数的一般项是 \(n\) 的函数 \(f(n)\) 并且广义积分 \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) 较易求得，则可考虑使用积分判别法。
7. 如果级数含有项 \((-1)^n\)，则是一个交错级数，这时候，必定考虑莱不尼兹判别法（交错级数判别法）。