一阶线性微分方程的积分因子法

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

积分因子法的基本思想就是,将方程乘以 一个函数,将方程的右边变成一个函数的导数,然后两边积分,就可以求出未知函数了。

对于 一阶线性微分方程来说,积分因子是比较好找的,因为含有未知函数的就只有两项,导数含有两项的就是两个函数的乘积了。

我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\),我们现在将它找出来。将它乘以方程两边,我们得到

\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]

因为第一项是 \(\mu(x)y’\),所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\),利用乘积求导法则,我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\),利用分离变量法,可以求出它的一个解

\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]

也就是说,这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\),将它乘以方程两边,我们得到

\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]

两边积分 ,我们得到

\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]

再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \),就得到了方程的解

\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]

这个公式 ,与我们用常数变易法求得的公式是一致的。

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