求不定积分技巧总结(一般原则)

学过微积分的人都知道,不定积分是整个微积分里面,技巧最丰富,也是最难得掌握的部分。它的基本方法只有两个,分部积分法与换元法(第一与第二换元法,原理是一样的),但是就这两个方法,所衍生出来的变化几乎可以说是无穷无尽的。每一个具体的不定积分都有它特定的技巧。现在我们先来看看,求不定积分的一般原则。后续的文章里,我会详细讲解,哪种被积函数采取哪种积分技巧。

原则一:尽量简化被积函数。利用代数变形或者三角函数恒等式将被积函数化简,从而将被积函数化成可以直接积分的形式。例如,
\[\int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2dx=\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+1\right)dx\]
\[\int(\sin x +\cos x )^2dx=\int (\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x)dx=\int(1+\sin2x)dx\]
\[\int \cot^2xdx=\int (\csc^2x-1)dx\]
可以看到,化简后,这几个积分就可以直接利用积分公式了。

原则二:先试试能不能凑微分;例如积分
\[\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\]
虽然可以利用三角代换 \(x=\sin t\) 来化简,但事实上,我们用凑微分 \(u=1-x^2, dx=-\frac{1}{2}du\) 来计算,显然快捷得多。

原则三:给被积函数分类,根据不同的类型选取不同的积分方法。如果化简不能直接给出积分,又不能凑微分,那么就应该寻求变量代换,或者使用用分部积分法。一般说来,有以下几种大的类型:

  • 如果被积函数是幂函数与三角函数、指数函数的积,那么使用分部积分法,令幂函数为 \(u\),其它函数为 \(v’ \)
  • 如果被积函数是幂函数与反三角函数、对数函数的积,使用分部积分法,令其它函数为 \(u\) , 幂函数为 \(v’\);
  • 如果被积函数是三角函数与指数函数的积,则使用回复积分法。就用多次使用分部积分,使被积函数回到原来被积函数的形式上去,从而可以利用代数方法求出积分;
  • 如果被积函数是三角函数的复合函数,则利用三角函数的积分方法。例如三角函数恒等代换,回复积分,变量代换等等。这部分我们以后详细说明;
  • 如果被积函数是有理分式,则先分解有理分式为简单分式之和,再对各分式求积分;
  • 如果被积函数是二次多项式的平方根,则先配方,再使用标准三角代换将其化简,成为三角多项式。例如 \(\sqrt{a^2-x^2}\) 可令 \(x=a\sin x\) ,\(\sqrt{a^2+x^2}\) 可令 \(x=a\tan x\) , \(\sqrt{x^2-a^2}\) 可令 \(x=a\sec x\) ,其它的二次多项式可以化成这三种形式之一;
  • 如果被积函数形为 \(\sqrt[n]{ax+b}\),则令 \(u=\sqrt[n]{ax+b}\)。

原则四:换一种方式来积分或者多种方式结合使用。如果以上几种方式都不能求出积分,那么就要试试别的方式,或者几种方式混合使用。

  • 试试变量代换。除了我们以上说过的几种变量代换以外,还有很多种代换的方式,例如,对三角函数,可以使用半角代换,有理分式或者无理分式可以使用倒代换等等, 这个我们在后续的文章也会有详细说明。
  • 试试分部积分。虽然在一般情况下,分部积分用于两函数之积,但它也可以用于其它情形,例如反三角函数,指娄函数的求积,就可以直接利用分部积分。在求积分过程中,可以试试不同的分部方式;
  • 混合使用分部积分与换元积分。例如先换元再分部,或者先分部再换元,甚至多次换元等等;
  • 利用加一个减一个,或者乘一个除以一个同样的函数的方式,简化被积函数。 例如
    \[\int\frac{dx}{1-\cos x}dx=\int\frac{1}{1-\cos x}\cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}dx=\int\frac{1+\cos x}{\sin^2x}dx=\int (\csc^2x+\frac{\cos x}{\sin^2x})dx\]
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