线性代数(Linear Algebra)怎么学

  1. 线性代数的基本计算技巧是初等(行)变换(row reduction),离开了这个技巧,计算基本上不能进行。需要用到的地方太多了,基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组,求逆矩阵,求特征向量,判定向量组的线性相关性等等。

    初等变换的基本技术有两点:其一、按列进行,先将第一列除第一个数字外,全部化成零。然后第二列,第三列等等进行。其二,每次找个最简单的数字的行做为基本行,进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。

  2. 线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性,可以用来求特征向量,可以用来判定矩阵是否可逆,可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。

    线性方程组的基本理论有两个方面,解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法,也就是初等变换的方法。、、

    而解的结构,又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。

    齐次方程:

    1. 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后,阶梯形(REF)矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
    2. 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)

    非齐次方程:

    1. 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
    2. 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
    3. 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
    4. 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\),其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解,\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个(特)解。
  3. 第二个计算技巧是行列式(determinant) 的计算。在计算特征值的时候,一定会用到行列式的计算。另外,还可以用行列来判定矩阵是否可逆,向量组是否相关,还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
  4. 线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量,这个一定要会。在矩阵的对角化,解常微分方程组,随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算,都是应用行列式和方程组的计算。
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