怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)?

这个问题,对于大多数同学来讲,不是什么大的困难。毕竟,它的定义还是比较好理解,而且有了极限的基础以后,计算也不是什么难题。但有时候,有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难,不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义:

  1. 如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\),则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线,或者铅直渐近线;
  2. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\),则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(X)\) 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向;
  3. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\),则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(X)\) 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候,需要确定函数的渐近线。 那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是:先找垂直渐近线,再找水平渐近线,最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线,也有可能三类渐近线都有。

  1. 垂直渐近线:垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么?因为从连续函数的性质知道,闭区间的连续函数有界,所以如果是连续的话,它的每一点的极限都是有限的(我们可以选一个很小的包含这点的连续区间)。
    找到不连续的点后,再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大,那么这点处就有垂直渐近线。
  2. 水平渐近线:确定垂直渐近线后,就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大,如果极限存在(不包括无穷大,无穷大是极限不存在的一种),那么就有水平渐近线;
  3. 斜渐近线:如果一个方向有水平渐近线,就不会有斜渐近线。也就是说,一个方向有水平渐近线,就不用找斜渐近线了(为什么?)。 如果没有水平渐近线,就来确定有没有斜渐近线。
    找斜渐近线的方式为: 先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\),如果极限存在,值为 \(a\),则可确定有斜渐近线。接着,求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax\),如果极限为 \(b\),则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)
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