幂指函数及其极限与导数

幂指函数,看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\), 函数既像幂函数,又像指数函数,它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的,特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数,最常见的错误就是求导的时候,把它当成幂函数的复合函数,或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点,很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域:同指数函数一样,幂指函数要求它的底是正数,否则,函数可能就没有意义。例如,当 \(x<0\) 时,函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说,\(f(x)>0\),再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域,幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说,如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(U_1\),\(g(x)\) 的定义域为 \(U_2\),\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ,则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)

幂指函数的复合规则: 幂指函数是复合函数吗?答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合,也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数,通过什么样的规则复合而成的呢?

我们先来对它进行变形, 先对它取对数,再取 \(e\) 底,那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样,问题就简单多了,我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后,幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限: 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\), 则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。

如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限,就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式,接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候,指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型,然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 \(1^{\infty}\) 型的极限,还可以通过将它变形,运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数:在教材里,幂指函数的导数一般是用对数求导法来求,而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后,我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\), 那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\), 所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\),从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

将 \(u\) 回代,就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

如果熟悉了,可以直接这么求
\[
\begin{align}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align}\]

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