怎样用递推法求不定积分

当我们碰到型如 \(\int x^n\sin xdx, \int ln^nxdx, \int \cos^nxdx\) 的积分时, 虽然可以重复使用分部积分法或者恒等变形等方法求出积分, 但其计算过程始终繁琐得很. 简单一点的方法, 就是我们先推出一个递推式, 然后用递推式求出积分. 更为复杂一点的函数, 如 \(\int\frac{1}{(1+x^2)^n}dx\), 我们没有别的方法来求, 只有使用递推法.

所谓递推, 就是被积函数是一个跟自然数 \(n\) 有关的函数,我们通过分部积分法, 得到积分与低一阶的积分有关, 就是积分可以写成关于 \(n-1\) 的类似的函数的积分, 然后逐步往后推, 最后得到积分的方法.

现在我们用例子来介绍这种积分方法.

例1: 导出积分 \(\int x^ne^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int x^5e^xdx\)

解: 由分部积分, 可以得到
\[\int x^ne^xdx=x^ne^x-\int n x^{n-1}e^xdx\]

如果记 \(I_n=\int x^ne^xdx\), 则上式就是 \(I_n= x^ne^x- nI_{n-1}\). 而 \(I_0=\int e^xdx= e^x+C\). 这就是我们得到的递推公式. 现在我们用这个递推公式求 \(\int x^5e^xdx\).

\[I_5= x^5e^x-5I_4= x^5e^x-5(x^4e^x-4I_3)=\cdots=x^5e^x-5x^4e^x+20x^3e^x-60x^2e^x+120xe^x-120e^x+C\]

例2: 导出积分 \(\int \sin^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\)

解: 我们还是用分部积分法来导出递推式. 设 \(I_n=\int \sin^xdx\), 那么
\[I_n=\int\sin^{n-1}x\sin xdx= -\int\sin^{n-1}xd(\cos x)dx = -\sin^{n-1}x\cos x+\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx\]

因为
\[\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx= \int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx=(n-1)( -I_n+I_{n-2}\]

将这个式子代入上式, 我们得到
\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]

这就是我们所得到的递推式. 现在我们应用这个递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\).

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x+\frac{5}{6}I_{4}=-\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x + \frac{5}{6}(-\frac{1}{4}\sin^{3}x\cos x + \frac{3}{4}I_2) \]

再递推一次, 我们就得到了

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x – \frac{5}{24}\sin^{3}x\cos x – \frac{15}{18}\cos x\sin x+\frac{15}{48}x+C\]

例3: 导出积分 \(I_n=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx\) 的递推式, 并用该递推式求 \(I_2\).

解: 由分部积分

\[\begin{align}
I_n&=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+\int(n+1)\frac{2x^2}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)\int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)I_n-2(n+1)I_{n+1}
\end{align}\]

从而得到递推式
\[I_{n+1}=\frac{1}{2n+2}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^n}+\frac{2n+1}{2n+2}I_n\]

将左边还是写成 \(I_n\) , 我们得到了递推式
\[I_n=\frac{1}{2n}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}\]

由此递推式, 我们可以得到
\[I_2=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(1+x^2)}+\frac{3}{4}I_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{4}\arctan x+C\]

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