用Stolz公式求极限

在高等数学这门课里,一般都不讲Stolz定理,但是因为这个定理应用广泛而且非常方便,我觉得有必要讲一讲这个定理。
这个定理的形式很像函数极限的洛必达法则。这个定理有两个等价的形式,我们只叙述我们方便应用的这个形式。
定理: 设有数列\(\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\)严格单调增,\(\lim_{n \to \infty}b_n=\infty\),并且极限
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\)存在(可以为无穷大),
那么就有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}.\]

我们来看两个例子:
(1)求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}\quad (a>1)\]
(2)设\(\lim_{n\to \infty}a_n=A\),求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]

这两个例子,分母都是\(n\),很显然是单调增加而且极限为无穷大,符合定理的条件。
(1)由定理可知
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^n-a^{n-1}}{n-(n-1)}=\lim_{n\to\infty}(a^n-a^{n-1})=\lim_{n\to\infty}(a^n(1-\frac{1}{a})=\infty\]

(2)设\(x_n=a_1+a_2+\cdots+a^n\),那么
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=\lim_{n\to\infty}a_n=A\]

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