用递推法求 \(n\) 阶行列式

用递推法来计算行列式的方法是:将行列式按行或者按列展开以后,低阶的行列式具有与原行列式相同的形式。
另外,这种行列式的0元素比较多,因而行列式展开的项并不多,否则计算量大太或者得不到合适的递推式。这样所得到的关于低阶行列式的表达式称之为递推式。在递推关系式的右端出现一个或者几低阶的行列式,然后就按行列式的计算法则计算一阶和二阶行列式的值,而高阶的行列式依次由递推式计算得到。这种方法我们称这为递推法。我们来看两个例子。

例 1: 计算行列式
\[ D_{2 n} = \left|\begin{array}{cccccccc}
a_n & & & & & & & b_n\\
0 & a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1} & 0\\
& & \ddots & & &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & \\
& & & a_1 & b_1 & & & \\
& & & c_1 & d_1 & & & \\
& &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & & \\
0 & c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1} & 0\\
c_n & & & & & & & d_n
\end{array}\right| \]
我们看到这个行列式,除了四个角的元素外,其它都是0。再看低阶的行列式,如果除去四周的行和列外,低阶的行列式跟原行列式具有相同的形式。那么可以知道这个行列式可以用递推法来求。我们来看怎么用递推法来求这个行列式。

解:将行列式按第一行展开,我们就可以得到
\[\begin{align} D_{2 n} &= a_n \left|\begin{array}{ccccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1} & 0\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & \\
& & a_1 & b_1 & & & \\
& & c_1 & d_1 & & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1} & \\
0 & & & & & & d_n
\end{array}\right|\\
& + ( – 1)^{1 + 2 n} b_n \left|\begin{array}{ccccccc}
0 & a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& & \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & & a_1 & b_1 & & \\
& & & c_1 & d_1 & & \\
& &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
0 & c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}\\
c_n & & & & & & 0
\end{array}\right|,\end{align} \]
再将第一个行列式按最后一列展开,第二个行列式按第一列展开,我们得到
\[\begin{align} D_{2 n} &= a_n d_n \left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
&\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|\\
& + ( – 1)^{1 + 2 n} ( – 1)^{1 + 2 n – 1} b_n c_n
\left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|, \end{align}\]
我们现在看到一、二这两个行列式是相等的。而这两个行列式跟原行列式形式上完全相同。我们记
\[ D_{2 ( n – 1)} = \left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|, \]
那么
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) D_{2 ( n – 1)} . \]
由此式又可能得到
\[ D_{2 ( n – 1)} = ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1}) D_{2 ( n –
2)}, D_{2 ( n – 2)} = ( a_{n – 2} d_{n – 2} – b_{n – 2} c_{n – 2}) D_{2 ( n
– 3)} \]
等等。最后我们得到
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1})
\cdots ( a_2 d_2 – b_2 d_2) D_2, \]
而\(D_2 = a_1 d_1 – b_1 d_1\)。所以最后我们得到了
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1})
\cdots ( a_1 d_1 – b_1 d_1) . \]

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