分离变量法 I: 齐次方程,齐次边界条件

分离变量法是求解偏微分方程的一种基本方法。它的思想是:假设未知函数 \(u(x,t)\) 是两个各自依赖于变量 \(x\) 和变量 \(t\) 的函数 \(X(x), T(t)\) 的乘积, \(u(x,t)=X(x)T(t)\), 从而可以将偏微分方程简化成两个独立的常微分方程,然后利用常微分方程的理论与求解方法,来求出偏微方程的解的一种方法。这种方法一般用于求解热方程与波动方程的初边值问题与拉普拉斯(Laplace)方程的边值问题。

这一篇文章,我们详细讲解分离变量法来求解偏微分方程的的思想与步骤。热方程与波动方程里最简单的情形就是带齐次边界条件的齐次方程。我们用带齐次边界条件的热方程来说明个方法。

例:求解热方程
\[\begin{cases}
u_{t}-a^2u_{xx}=0,\quad & 0\le x\le L, t\geq 0 \\
u(0,t)=0, u(L,t)=0,&t\geq 0\\
u(x,0)=x,& 0\leq x\leq L
\end{cases}\]

我们现在详细讲解求解的步骤。

第一步,假设方程的解具有形式 \(u(x,t)=X(x)T(t)\),将它代入原方程,我们得到
\[T'(t)X(x)-a^2T(t)X^{\prime\prime}(x)=0\]
两边同除以 \(a^2X(x)T(t)\),方程变为
\[\frac{T'(t)}{a^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}\]
因为左边只跟 \(t\) 有关, 右边只跟 \(x\) 有关,要使得它们相等,只有两边都是常数。我们用 \(-\lambda\) 来表示这个常数(参见 Sturm-Liouville 定理了解为什么是负号)。也就是
\[\frac{T'(t)}{a^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda\]
从而得到了两个方程
\[\begin{array}{l}
X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\\
T'(t)+a^2\lambda T(t)=0
\end{array}\]

因为原方程的边界条件 \(u(0,t)=0, u(L,t)=0\) 对所有的 \(t\) 成立,所以只可能 \(X(0)=0, X(L)=0\)。所以函数 \(X(x)\) 满足下列方程
\[\begin{cases}
X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0, 0\le x\le L\\
X(0)=0, X(L)=0
\end{cases}\]

第二步,求解 \(X(x)\)。由二阶常系数微分方程的解的理论,我们知道,这个方程的特征方程为
\[r^2+\lambda=0\]
其特征方程的根为
\[r_{1,2}=\pm\sqrt{-\lambda}\]

依据 \(\lambda\) 的符号,我们分几种情况讨论。

情形1: \(\lambda< 0\)。我们不妨设 \(\mu=\sqrt{-\lambda}>0\),那么方程的通角为
\[X(x)=C_1e^{\mu x}+C_2e^{-\mu x}\]
重新定义 \(C_1,C_2\)后,方程的通解可以写成
\[X(x)=C_1\sinh(\mu x)+C_2\cosh(\mu x)\]

由方程的边界条件,\(X(0)=0\),我们得到 \(C_2=0\),再由边界条件\(X(L)=0\),我们得到 \(C_2=0\)。所以方程的解只有零解。也就是说,\(\lambda\)不可能小于\(0\)。

情形2:\(\lambda=0\)。在这种情形下,方程变为 \(X”(x)=0\),积分两次,得到方程的通解为
\[X(x)=C_1x+C_2.\]
由边界条件,\(X(0)=0\)得到 \(C_2=0\),再由边界条件 \(X(L)=0\) 得到 \(C_1=0\)。所以方程的解只有零解。也就是说,\(\lambda\)也不可能等于\(0\)。

情形3:\(\lambda>0\)。这时候我们设设 \(\mu=\sqrt{\lambda}>0\)。\(r_{1,2}=\pm \mu i\),所以方程的通解为
\[X(x)=C_1\cos(\mu x)+C_2\sin(\mu x)\]
由边界条件\(X(0)=0\)得到 \(C_2=0\)。由边界条件\(X(L)=0\) 得到 \(C_1\sin(\mu L)=0\)。这个方程有解
\[\mu=\frac{n\pi}{L}, n=1,2,\cdots\]
也就是说 \(\lambda=(\frac{n\pi}{L})^2, n=1,2,\cdots\)。我们记
\[X_n=\sin(\frac{n\pi x}{L}),\]
它是方程的
\[\begin{cases}
X”(x)+\lambda X(x)=0, 0\le x\le L\\
X(0)=0, X(L)=0
\end{cases}\]
的解。称之为特征函数,而\(\lambda=(\frac{n\pi}{L})^2, n=1,2,\cdots\)称之为对应的特征值。

第三步,将 \(\lambda=(\frac{n\pi}{L})^2, n=1,2,\cdots\) 代入方程
\[T'(t)+a^2\lambda T(t)=0\]
可以得到方程
\[T'(t)+a^2(\frac{n\pi}{L})^2 T(t)=0\]
其解为
\[T_n(t)=A_ne^{-\frac{a^2n^2\pi^2}{L^2}t}\]
所以
\[u_n=T_n(t)X_n(x)=A_ne^{-\frac{a^2n^2\pi^2}{L^2}t}\sin(\frac{n\pi x}{L}),n=1,2,\cdots\]
都是原方程的一个解。

第四步,由叠加原理,原方程的通解为
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n=\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\frac{a^2n^2\pi^2}{L^2}t}\sin(\frac{n\pi x}{L})\]
由方程的初值条件,\(u(x,0)=f(x)\),
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(\frac{n\pi x}{L})\]
显然,等式的右边就是函数 \(f(x)\) 的 Fourier 正弦级数。\(A_n\) 是是函数 \(f(x)\) 的 Fourier 正弦系数
\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx\]

所以初边值问题的解是
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx)e^{-\frac{a^2n^2\pi^2}{L^2}t}\sin(\frac{n\pi x}{L})\]

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