什么是线性相关(linearly dependent)和线性无关(linearly independent)?

在教材里,线性相关的定义是:对于一组向量(vectors)\((\vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_n)\),如果存在一组不全为 \(0\) 的数 \(k_1,k_2,\cdots, d_n\),使得 \(k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots k_n\vec{v}_n=0\) 成立,就称这组向量是线性相关的。 如果只有当\(k_1,k_2,\cdots, d_n\) 全部为 \(0\) 时这个等式成立,那么就称这个向量组是线性无关的。

这个定义读起来比较拗口,也不是太容易理解。我试着来解释一下。一组不全为 \(0\) 的数,意思是至少有一个数不为 \(0\)。也就是说,至少有一个 \(k\) 不等于 \(0\),那么这组向量是线性相关的。那么这意味着什么呢?假如\(k_n\) 不等于 \(0\),那等式 \(k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots k_n\vec{v}_n=0\) 就等价于
\[k_n\vec{v}_n=-k_1\vec{v}_1-k_2\vec{v}_2-\cdots -k_{n-1}\vec{v}_{n-1}\]
也就是说
\[v_n=-\frac{k_1}{k_n}\vec{v}_1-\frac{k_2}{k_n}\vec{v}_2-\cdots -\frac{k_{n-1}}{k_n}\vec{v}_{n-1}\]
这意味着\(\vec{v}_n\) 可以用其它的向量线性表示。这也是为什么我们说它们之间是线性相关的。

而线性无关就是说,除非\(k_1,k_2,\cdots, d_n\) 全部为 \(0\),否则 \(k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots k_n\vec{v}_n=0\) 不可能成立。

我们来看两个例子。

例 1: 设 \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}, \vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}, \vec{v}_3=\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}\),那么 \(-2\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3=0\),也就是\(k_1=-2,k_2=1,k_3=1\),所以这组向量是线性相关的。

例2:设 \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\ 0\\0\end{pmatrix}, \vec{v}_2=\begin{pmatrix}0\\ 1\\0\end{pmatrix}, \vec{v}_3=\begin{pmatrix}0\\ 0\\1\end{pmatrix}\),那么 \(k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+k_3\vec{v}_3=\begin{pmatrix}k_1\\ k_2\\k_3\end{pmatrix}\),要使得这个向量等于 \(0\),只能 \(k_1=k_2=k_3=0\),所以这组向量是线性无关的。

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