复变函数(Complex Variables)学些什么?

复变函数,实际上就是复数函数的微积分理论。这门课程就是逐步建立起复数域上的微积分理论。它的内容主要是以下几个部分。

1,复数的运算。复数的平面表达式 \(z=x+iy\),极坐标表达式\(z=re^{i\theta}\),复数的模(norm)\(|z|\),共轭复数(conjugate),曲线的复数表达式等等;

2,复数函数的定义与性质。例如指数函数 \(e^z\),三角函数\(\sin z, \cos z, \tan z\), 对数函数 \(\log z\),幂函数 \(z^n\),根式函数 \(\sqrt[n]{z}\) 等函数的定义与性质,它们的定义域,值域,取值等等;

3,复数函数的导数的定义,可导的条件;Cauchy-Riemann 方程以及函数可导的条件;

4,复数函数的积分运算;Cauchy 积分公式的及其各种应用;

5,复数函数的级数定理,Taylor 级数与 Laurent 级数;

6,复数函数的映射,或者函数的图形性质。共形映射定理。

通常初等的复函数课程不太可能讲共形映射定理,但一般的函数的映射会讲。

这门课程很多内容可以直接看成是实函数的微积分在复数域上的推广,这一部分的内容不难,例如求导公式 \((\sin z)’=\cos z, (e^z)’=e^z\), 可微函数的Taylor 级数,可微函数的积分,都跟实函数差不多。

但是这门课程的核心内容却是与实函数不一样的地方。例如 Cauchy 积分公式,Laurent 级数和共形映射。在初等的复变函数中,Cauchy 积分公式及其应用和 Laurent 级数占了这门课程的大部分比重。可以说,掌握了这两部分的内容,你就差不多掌握了这门课程。

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