怎样求复变函数的积分?

对于复变函数的积分的求法,不少同学相当迷惑,因为方法太多了。我们来总结一下,有哪些求复变函数积分的方法,这些方法的应用范围又是怎样的。

大体上讲,复变函数的积分方法有以下几种:

第一,直接积分方法。就是将曲线化成参数方程,然后化成定积分来求。如果我们求积分

\[\int_Lf(z)dz\]

那么先求得曲线 \(L\) 的参数方程 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么 \(z=x+iy\),\( f(z)=f(x+iy)=f(phi(t)+i\psi(t))\),\(dz=\phi'(t)dt+i\psi'(t)dt\),所以积分变成

\[\int_Lf(z)dz=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t)+i\psi(t))(\phi'(t)+i\psi'(t))dt\]

然后运用求定积分的方法来求即可。

第二种方法就是运用柯西(Cauchy)积分公式来求。如果积分具有形式\(\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz\) 或者 \(\int_L \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\),并且 \(L\) 是一个闭曲线, \(z_0\) 位于闭曲线的内部,则可以直接运用柯西(Cauchy)积分公式

\[\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)\]

或者

\[\int_L \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi if^{n}(z_0)}{n!}.\]

第三种方法就是利用留数定理。如果积分 \(\int_Lg(z)dz\) 不能直接写成 \(\int_L \frac{f(z)}{z-z_0}dz\) 的形式,但是函数本身在曲线的内部不是解析的,而同时它的罗朗级数(Laurent Series)可以求得,那么运用留数定理

\[\int_Lg(z)dz=2\pi i Res(z_0, g(z))=2\pi i c_{-1}\]

其中 \(c_{-1}\) 是函数的罗朗级数展开式的关于 \(\frac{1}{z-z_0}\) 那一项的系数。

最后一种方法,就是利用积分与路径无关的性质。如果函数在某个区域内解析,而且积分路径从位于这个区域内,

\[\int_Lf(z)dz=F(z_1)-F(z_0)\]

其中,\(F(z)\) 是 \(f(z)\) 的原函数,\(z_0\) 和 \(z_1\) 分别是曲线的起点与终点。

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