线性代数复习(二):有解与无解方程组

我们利用矩阵的秩(rank)的概念,给出方程组有解和无解的条件。我们首先给出秩的定义,以及三个关于解的结构的定理。利用这几个定理,可以比较方便地得出方程组有解无解的结论。以及解的结构问题。

如果方程组的系数矩阵(coefficient matrix)的秩小于增广矩阵的秩,方程组就是无解的(inconsistent system)。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组就是有解(consistent system)。如果秩等于未知元的个数,方程组的解就是惟一的;如果秩小于未知元的个数,方程组就有无限多个解。