线性代数复习(四):线性变换 linear transformation

我们先回顾一下线性变换(linear transformation)的定义。

线性变换的定义是:如果一个变换 \(T\)满足两个条件

  •  \(T(\vec{u}+\vec{v})=T\vec{u}+T\vec{v}\);
  • \(T(\lambda\vec{u})=\lambda T\vec{u}\);

那么,如果要判定一个变换是否是线性的, 只要逐一验证这两个条件即可。事实上,上面的两个条件可以合并成一个条件:如果 \(T(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v})=\lambda T\vec{u}+\mu T\vec{v}\),则 \(T\) 是一个线性变换。

对于线性变换来说,另外一个重要的知识点就是它所对应的矩阵。对于 \(\mathbb{R}^n\) 上的每一个线性变换,都有一个矩阵与它相对应。一个重要的定理说明,对每一个线性变换 \(T\),都存在一个矩阵 \(A\), 使得 \(T\vec{x}=A\vec{x}\) 。而且 \(A=(T\vec{e}_1,\cdots, T\vec{e}_n)\)。很多时候,我们只需要盯住 \(\mathbb{R}^n\) 中的标准基(canonical basis, 或者 standard basis)的变换就能找到 \(A\)。 这里我们还给出另外几个找 \(A\) 的方法。

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