线性代数复习(五):逆矩阵 inverse matrix

逆矩阵的定义是:如果两个矩阵 \(AB=I_n\) ,其中 \(I_n\) 是 \(n\) 阶单位矩阵,就是主对角线上的元素都是 \(1\), 其它所有的元素都是 \(0\) 的方阵(square matrix)。那么 \(B=A^{-1}\) 或者 \(A=B^{-1}\)。注意,逆矩阵的定义只对方阵有意义。

求逆矩阵的方法,比较有效的是初等行变换的方法。将矩阵 \(A\) 与单位矩阵 \(I\) 放在一起组成一个新的矩阵 \((A\vdots I)\), 将此矩阵做初等行变换,如果 \(A\) 变成了单位矩阵,那么单位矩阵就变成了 \(A\) 的逆矩阵。也就是说,\((A\ \vdots \ I)\sim (I \ \vdots\  A^{-1})\)。

我们还给出了判断矩阵是否可逆的等价条件。常用的条件有

  • \(A\vec {x}=0\) 只有零解;
  • \(\text{Rank} A=n\);
  • \(\text{det} A\ne 0\) 或者 \(|A|\ne 0\).
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