线性代数复习(六):子空间,零空间及列空间 subspace, null space and column space

这里的子空间特指的是  \(\mathbb{R}^n\) 中的线性子空间。\(\mathbb{R}^n\) 本身是一个向量空间,它的一个子集 \(\mathcal{U}\) 成为一个子空间,如果  \(\mathcal{U}\)  满足两个条件:

  • 如果 \(\vec{u},\vec{v}\in \mathcal{U}\) ,那么 \(\vec{u}+\vec{v}\in \mathcal{U}\);
  • 如果  \(\vec{u}\in \mathcal{U}\) ,那么 \(\lambda\vec{u}\in \mathcal{U}\) for all \(\lambda\in \mathbb{R}\)

要证明一个向量集是线性子空间,只需要逐一验证这两个条件即可。如果两个条件都满足,则它是线性子空间。如果有一个条件不满足,则它不是线性子空间。

\(\mathbb{R}^n\) 中有两个特殊的线性子空间,这就是矩阵 \(A\) 的零空间或解空间(Null space, \(\text{Null} A\)),它的定义是所有满足 \(A\vec{x}=0\) 的向量,它们组成一个线性子空间;另外一个是矩阵 \(A\) 的列空间,它定义为 \(\text{col}A=\text{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots, \vec{v}_n\}\),其中 \( \vec{v}_i, 1\leq i \leq n\) 是矩阵的列向量。

我们这里给出了求零空间和列空间的快速有效的方法。

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