线性代数复习(七):行列式 determinant

我们首先讲述了行列式的定义。我们采取的方法是用递归展开的方式定义行列式。这种方式具有计算上的方便性。另外,要注意的是,行列式的结果是一个数,而矩阵是一张数表。

行列式的一些性质能够简化行列式的计算。最重要的性质包括:

  • 行列式可以按行,也可以按列展开
  • 交换行列式的两行或者两列,行列式变号
  • 行列式里,一行或者一列的公因数可以提到行列式外面
  • 将某一行或者某一列乘以一个数加到另一行去,行列式不变

这些性质,有些跟矩阵差不多,有些很不一样。例如,矩阵可以对一行乘以一个数,但是行列式将一行乘以一个数,则必须在行列式外面除以相同的数。另外,矩阵交换两行,矩阵是等价的,但是行列式交换两行,行列式要变号。

行列式的计算,最主要的方法是降阶法。这对于一些具体的行列式的计算很有效。降阶法的方法是:用初等变换将其中一行或者其中一列化成除一个元素外全是 \(0\),然后按该行或列展开,从而降低了行列式的阶。重复这个过程,最后将行列式化成只有二阶的行列式,就可以直接计算了。

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