线性代数复习(十一):施密特正交化方法 Gram-Schmidt processing

施密特正交化方法,就是将一组线性无关的向量组,变成一组正交的向量组的方法。通过这个方法,可以将一个线性空间的基,变成一组正交基(orthogonal basis),甚至标准正交基(或规范正交基,orthonormal basis )。这一方法的理论基础就是投影定理。它的方法如下:

设 \((\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots, \vec{v_p})\) 是一组线性无关的向量组,我们令
\begin{align}
\vec{b}_1&=\vec{v}_1\\
\vec{b}_2&=\vec{v}_2-\frac{\vec{v}_2\cdot \vec{b}_1}{||\vec{b}_1||^2}\vec{b}_1\\
\vec{b}_3&=\vec{v}_3-\frac{\vec{v}_3\cdot \vec{b}_2}{||\vec{b}_2||^2}\vec{b}_2-\frac{\vec{v}_3\cdot \vec{b}_1}{||\vec{b}_1||^2}\vec{b}_1\\
\cdots &\\
\vec{b}_p&=\vec{v}_p-\sum_{i=1}^{p-1}\frac{\vec{v}_p\cdot \vec{b}_i}{||\vec{b}_i||^2}\vec{b}_i
\end{align}

那么, \((\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots, \vec{b}_p)\) 是一组正交向量组。进一步,令
\[\vec{e}_1=\frac{\vec{b}_1}{||\vec{b}_1||}, \vec{e}_2=\frac{\vec{b}_2}{||\vec{b}_2||},\cdots, \vec{e}_p=\frac{\vec{b}_p}{||\vec{b}_p||}\]
则\((\vec{e}_1,\vec{b}_2,\cdots, \vec{b}_p)\) 是一组f规范正交向量组或标准正交组。

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