如何计算参数方程的二阶及高阶导数?

在高等数学教材里,推导出了参数方程的二阶导数公式

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi”(t)\phi'(t)-\psi’t(t)\phi”(t)}{\phi’^3(t)}.\]

其中曲线的参数方程为 \(x=\phi(t), y=\psi(t)\)。但是,实际上,这个公式既不好记,又不好用。其实,参数方程确定的函数的二阶导数及高阶导数有更好的更有效的求法。我们来说明这种方法。

因为参数方程的一阶导数为

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},\]

所以我们看得出,一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)还是关于 \(t\) 的函数,我们直接关于 \(x\) 再求导是不方便的,但是我们可以利用复合函数的求导法则,将关于 \(x\) 的导数转化成关于 \(t\)  的导数。由复合函数的求导法则

\[\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}\\
&=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}
\end{align}\]

这上面一大堆的东西可能你会看得眼花缭乱。那么我们用一种简单的方式来说吧。因为 \(\frac{dy}{dx}\)是关于 \(t\) 的函数,我们假设 \(F(t)=\frac{dy}{dx}\),那么二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}F(t)\),把 \(t\) 看成中间函数,那么 \(F(t)\) 关于\(x\) 的导数就是 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}\),而 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{\phi'(t)}\),从而 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}=F'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)}\)。

二阶以上的导数可以用相同的方法来求。我们用一个例子来说明这种方法。

例1, 求由参数方程
\[\begin{cases}
x=a\cos t\\
y=b\sin t
\end{cases}\]所确定的函数的二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先计算一阶导数
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.\]
所以,二阶导数为
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\frac{1}{-a\sin t}=-\frac{b}{a^2}\csc^3t\]

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