如何确定孤立奇点(isolated singularities)的类型?

复变函数中,孤立奇点的类型分为三种:可去奇点,极点和本性奇点。极点又可以分为简单极点和 \(m\) 阶极点。它们是根据函数的罗朗级数(Laurent Series)来定义的。我们设 \(a\) 为函数 \(f(z)\) 的奇点。

  • 可去奇点(removable sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式没有负指数项,则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 简单极点(simple pole):函数在\(a\) 处的罗朗级数展开式只有一项负指数项 \(c_{-1}(z-a)^{-1}\),则 \(a\) 为函数的简单极点;
  • \(m\) 阶极点(pole of order \(m\)):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式只有有限项负指数项,且\(a_{-m}\ne 0\) 而且对所有 \(n>m\),\(a_{-n}=0 \), 则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 本性奇点(essential sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式有无限项负指数项,则则 \(a\) 为函数的本性奇点。

事实上,如果每次需要用罗朗级数来确定奇点的类型,还是不很方便的。首先我们有一些非常简便的方式,就是用极限来判定是可去奇点、极点还是本性奇点。

  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=L\)为有限,那么 \(a\) 是函数的可去奇点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=\infty\),则 \(a\) 是函数的极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)\)既不是有限,也不是无穷大;也就是极限不存在,则\(a\) 是函数的本性奇点。

另外,对于极点,我们还有以下几种判定方法:

用极限来判定:

  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用函数的表达式来判定:

  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{z-a}\) 而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m}\),而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用零点的类型来判定:

  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的单根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的简单极点;
  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的 \(m\) 重根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的 \(m\) 阶极点;

我们用几个例子来说明如何利用上面所说的一些方法来判定奇点的类型。

例1:\(f(z)=\frac{z}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的可去奇点,因为

\[\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1.\]

(回顾一下 \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\) 或者 l’Hospital 法则)。

 

例2: \(f(z)=\frac{1}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的简单极点,因为

\[\lim_{z\to 0}zf(z)=\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1\]

 

例3:函数 \(f(z)=\frac{5z+1}{(z-1)(2z+1)^2}\) 以 \(z=1\) 为简单极点,以\(-\frac{1}{2}\) 为二阶极点。

 

有时候,结合罗朗级数和上面几种判定方式,会更快捷有效。我们来看一个这样的例子。

例4:判定函数 \(f(z)=\frac{1}{z(e^z-1)}\) 的奇点类型。

解:我们知道 \(z=0\) 是函数的奇点。我们将 \(e^z\) 展开后得到

\[e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots,\qquad |z|<\infty\]

所以

\[z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots).\]

由于 \(\frac{1}{f(z)}=z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots)\),可知 \(0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 二重根,所以 \(0\) 是 \(f(z)\) 的二阶极点。

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