如何判定一个复级数是否为条件收敛(conditional convergence)?

我们知道,如果一个复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 的绝对值级数(每一项取模)

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\]

收敛,则级数本身是收敛的。现在的问题是,如果绝对值级数不收敛,如何判定一个复级数是否收敛,也就是条件收敛问题。

从复级数收敛的定义,我们可以知道, 一个复级数收敛,就是它的实部和虚部都收敛。由此我们知道,一个复级数是条件收敛,要么就是实部和虚部都是条件收敛,要么就是其中一个条件收敛,另一个绝对收敛。所以我们只需要应用实级数的收敛性判别法就可以了。

我们来看两个例子:

例1:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\]

的敛散性。

解:我们知道

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]

是发散的,所以级数不是绝对收敛。很显然,这个级数即有实数部分,也有虚数部分。我们将其分解成实部与虚部

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k}}{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i(-1)^{k}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k}\]

由交错级数的莱不尼兹判别法,实部和虚部都是收敛的,从而级数本身是收敛的。所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\) 条件收敛。

 

例2:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}\]

的敛散性。

解:因为 \(|z_n|=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^{2n}}}>\frac{1}{n}\),由正项级数的比较判别法,级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}|\) 发散。也就是说,原级数不是绝对收敛。但是我们知道,\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\) 条件收敛,而\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) 绝对收敛,所以原级数条件收敛。

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