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我是怎么自学数学的

我本来是中专生,专业是会计。后来自学数学,考取了数学专业的研究生,毕业后,去大学教数学。

我第一次接触高等数学,是中专毕业三年以后。那时候,连三角函数是什么东西我都弄不清楚。可以说,我是连高中数学的基础都没有。之前虽然在中专学过一年半的数学,但是一来时间过得太久,二来本来就学得不多,学得不好。

那时候的自学考试,是完全的“自学”。我在一个偏远山区的乡政府里上班,要去县城的话,一天只有一班车。学习的资料,除了自学考试的教材,就没有了,周围也没有别人参加自学考试,更不用说找到懂数学的人了。那时也没有什么学校开办自学考试班,就算是有,也没办法参加,一没钱,二没时间。

听其它的朋友说过一个故事,说有一个人参加自学考试,其它十二门都考过了,就高等数学考了好几次,都不及格,在最后一门课程竟然放弃了!

那个时候,自学考试一年考两次,一月份报名,四月份考,七月份报名,十月份考。我拿到高等数学教材以后,看了一个月的书,结果是连极限的概念都没弄懂,后面只有两个月的时间,把剩下的部分勉强学完了,去参加考试,结果差几分,没及格。后来再考一次,六十几分,总算是过了。

专科考完之后,我一边考研,一边考本科阶段自学考试。本科阶段的数学称为《高等数学(二)》,内容是线性代数与概率统计,这次是一次性考过,成绩忘记了。这次可能是因为考研需要要考这两门,一来学习时间更多,二来有了前次考试的经验,学起来更有效率一些。在本科还差四门课程就考完的时候,考上了研究生,就没有继续考本科课程了。

第一次参加考研,成绩是不忍卒睹,再一次参加考试,数学还是没能上线。再下一次,准备考试时,整整做完了一本高等数学习题集,又将一本线性代数教材的课后习题全做完,只是概率统计没能做太多的习题。这一次的考试,数学的成绩是62。那时候的总分是 100分, 数学单科分数线经常是 50 分,有时候甚至是 45 分上线。62 分,算得上是难得的高分了。

我记得那一年去学校研究生院查分,老师先问我几门公共课的分数,我报了我的分数后(英语61,政治61,数学62)以后,老师非常惊讶:公共课这么高的分数,怎么会没上线?(我总分324,分数线325,差一分上线)因为两门专业课分别为69分和71分,对于其它同学,专业课动不动就八、九十分来说,我这专业课分数跟没学差不多。

后来,听其它同学说,会计专业(或者经济专业)的专业课的考试题,很多都是老师在课堂上讲过的,或者曾经是这门课的作业,这对我来说,极为不利。于是在那一年,决定换专业,转学理工,考虑的就是理工科,不管哪个学校,内容应该都差不多,不会因为不同的老师有太大的差异。

考虑过后,理工类的课程,我只学过几门数学,所以决定转学数学。我学过的是高等数学、线性代数及概率统计,数学系对应的课程为数学分析、高等代数与概率统计。于是,那一年又将没有学过的数学专业部分的内容学了一遍。也正是那一年,我考上了研究生。

在学校通知复试的同时,学校通知我需要加考两门专业课(我是专科生,又是跨专业),于是,接到通知后的两个星期内,我又突击学习了两门数学专业课:解析几何和常微分方程。当时捡了最重要的部分学习,最后通过了复试。

入学以后,我的入学成绩是全班同学的最后一名,数学基础是所有同学中最差的。入学时,满打满算,我也就学了五门数学课程。在上研究生课程时,很多课程没法听懂,因为先修课程没学过。这期间只有不断地补本科的课程,才能跟得上研究生课程的学习。又因为没办法去跟本科生一起上课,又只有自学。复变函数、实变函数、泛函分析、抽象代数、数学物理方程这些课程都是这段时间补上的。毕业时,总算是补上了本科阶段的数学知识。

研究生毕业,进入大学教书以后,我花了大量业余时间去学习读研时没弄懂的内容。这也是我的一个个性,以前没弄懂的东西,总是想方设法去弄懂。这样持续几年以后,将以前读研时没弄懂的,缺的知识慢慢补上来,最后终于能够独立地进行数学研究,发表几篇不入流的数学论文,算是一个真正的数学工作者了。

在我自学数学的这些年中,走了不少冤枉路,特别是在头几年,学习方法和学习效率都不好。幸好慢慢地也积累了一些学习的经验,现在总结一下,可供同学们参考,希望对同学们能有所帮助。

一、教材。我在学每一门课程时,手头都备有好几本教材,除了开始的那段时期外,那时候没地方买书。 不同的教材,叙述的方式都不尽相同,相当于不同的老师,教学的风格都不一样。而且,不同的教材,对同一个问题的叙述都不一样,解释的角度也不一样。如果在一本教材里,某个问题你看不懂,也许换一个教材,换一个说法你就懂了。

当然,这些教材里,你需要选一本作为主要的教材,以这本教材作为学习的主线和主要顺序,其它的教材,在需要的时候参考,没必要每一本教材都完整地看一遍。

二、关于看书。我最大的教训在这里。以前学的专业是会计,又爱看小说。看书的时候,往往一目五行甚至十行,对于感觉不重要的部分或者不感兴趣的细节,往往直接跳过。对于很多解释性的文字,往往直接忽略。这样看书的速度很快,也不太影响专业知识的获取。但是看数学书就不一样了,看数学书,得一行一行地看,一个字一个字的看。有时候一个字没看到,就理解不了 一个定义或者定理。解释性的文字,不看的话,就不能很好地理解前面的讲述的内容。所以看数学书,一定仔细,不能略过任何一部分。

另外,看数学书,往往需要看一两行或者一两段,就停下来思考一下,自己是不是真懂了这一部分,能不能够用自己的话将这一部分解释清楚,能不能自己给出一个具体的例子等等。这些都是能够检验你是不是真正理解了这些内容。

三、关于例题。书上的例题应该自己动手做一遍。看懂例题是没有用的。我刚开始学数学时,看完例题就去做题,可经常做不对,又只好回来看例题,对照着例题,一步一步地看,看看自己做的题到底是什么地方出错了。后来,每个例题都自己先做一遍,再去做习题,这样做题的准确率更高了,做题的思路也更清晰,做题的速度也更快了。

做例题,不能看着它的解答一步一步跟着做,这样做出来的例题,也不是你的。你需要将例题的解答盖住,把例题当成习题来做,做完后再对照解答,看看不没有什么地方没有掌握。如果不能一次将例题从头做到尾,就证明这个例题你没有掌握。

四、关于做题。没有哪一个人能够不做题就学会数学了的。很多的数学教材在序言里会来这么一句:习题是本教材的一部分,同学应该尽量们多做课后的习题。

要想完完全全掌握一门数学课程,应该做完一本习题集,至少至少应该做完书后的习题。我前面几次考研,数学都考得很惨,但当我做完一本高等数学习题集,特别是做完习题集里面所有不定积分的题目时,突然感觉高等数学好简单!再之后,做完了一本线性代数课后的习题,也感觉线性代数变得简单多了。当年的数学就考得比较理想。

五、关于习题集。习题集应该是只有答案没有解答的习题集。你做完了知道自己做得对不对。不对的话,再仔细检查自己错在哪里。查错的过程能让你的理解能力提升一大截。有解答的习题集让你不自觉地去看它的正确解答,远不如自己查出自己错在哪里对你有用。

以上这些就是我这些年学习数学的经验,希望能对你有用。如果你觉得有用,可以推荐给你的同学朋友,谢谢!

有效提高数学成绩的几个方法

我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响数学成绩的一些方法与技巧。

学好数学,第一要点是要做足够的习题。只有足够的练习,才能准确、熟练地掌握所学的内容。

这一点,是所有数学老师都会强调,而且每个家长都清楚的一个道理。所以我不打算在这里过多强调这一点。

我们经常碰到有些学生,明明掌握了所学的知识点,但在考试中会出现这样那样的问题,例如,时间不够,简单的计算错误,对一些复杂的式子不知所措等等,这些都极大地影响了最后的学习成绩。

针对这些情况,我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响考试成绩的一些方法与技巧。

第一,先化简,再计算。每做一步,化简一步,再进行下一步计算。化简之后,计算会变得更简单,更不容易出错,可以更快并且更准确地得到答案。

例如,分式的乘法运算,要先化简,再做乘法(除法也是用乘法来算)

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{7}{\cancel{8}2}\times\frac{\cancel{4}}{5}=\frac{7}{10}\]

但是事实上,很多同学是这样做的

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{4}\times 7}{\cancel{4}\times 10}=\frac{7}{10}\]

至少多了一步。更有甚者,

\begin{align*}\frac{7}{8}\times\frac{4}{5} &=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{2}\times 14}{\cancel{2}\times 20}\\ &=\frac{14}{20}=\frac{\cancel{2}\times 7}{\cancel{2}\times 10}\\ &=\frac{7}{10}\end{align*}

这就多了好几步。如果数字再大一点,那就更不得了。当然,这除了不会先简化以外,还涉及到基本的计算能力的问题,这就是我们第二点要讲的方法,平时做题尽量不用计算器。

我们再来看一个化简的问题,解方程

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

这样的方程,两个根号,两边直接平方的话,左边会再出现一个根号,而且根号里面是一个二次多项式,然后再平方,计算量就大。那么我们先把其中一个根号放到右边去,

\[\sqrt{x+19}=7-\sqrt{x-2}\]

再平方,

\[x+19=49-14\sqrt{x-2}+x-2\]

合并同类项,将根号放到左边,其余的放到右边(也可以反过来,根号放右边,其余放左边,但这样的话,根号就是负的,多一个东西在那里,我个人是不喜欢的。)

\[14\sqrt{x-2}=49+x-2-x-19,\]

\[14\sqrt{x-2}=28\]

有些同学这里就直接两边平方了,不管是 \(14\) 还是 \(28\) 的平方都是不小的数啊!但事实上,只要两边除以 \(14\),就得到

\[\sqrt{x-2}=2\]再两边平方,多简单,

\[x-2=4,\quad x=6\]

再把答案代入方程,成立。所以方程的解是 \(x=6\)。

这里我们就是,每做一步,化简一步,这样计算量小,速度快,而且不容易出错。

第二,尽量不依赖计算器。北美的学生尤其依赖使用计算器,这使得他们的基本计算技巧特别弱。在碰到一些不准用计算器的考试中,在一些基本的计算上花费太多的时间,从而会造成时间不够或者不能够充分思考的情况下答题。我碰到一些学生,特别是北美本地长大的学生,甚至到了大学,基本的四则运算都不熟练。

第三,简化运算式。这跟之前化简不一样,化简是将一些数字、运算式约掉,但简化是通过一些运算,将复杂的式子变成相对简单的运算式,再对简化后的式子进行运算。

例如,我们对二次多项式进行因式分解

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}\]

这样的二次多项式,即使你很熟悉因式分解,也是很难直接分解出来的。但是如果我们这样做

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(8x^2-6x-5)\]

然后对括号里的部分进行分解,就容易多了。利用交叉相乘的方法,很快就可以分解出来

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(2x+1)(4x-5)\]

第四,使用分数而不是小数进行运算,使用 \(\pi, e\) 等进行运算,而不是使用 \(3.14, 2.72\) 等进行运算。使用根式而不是用小数进行运算。

同样的一个数,小数的计算量要比分数的计算量大得多。我们看一个例子,这是我前几天跟几个同学讨论问题的碰到的。求二次函数 \[y=x^2+5x+19\] 的顶点。

标准的做法就是配方法,同学是这样做的

\begin{align*}y=x^2+5x+19&=(x^2+5x)+19\\&=(x^2+5x+2.5^2)-2.5^2+19\\&=(x-2.5)^2-6.25+19\\ &=(x-2.5)^2+12.75\end{align*}

所以顶点为点 \((2.5,12.75)\)。我当时就说,能够用分数,就不要用小数。你们看,\(2.5\) 的平方,本质上就是 \(25\) 的平方,两位数的平方,但是如果是用 \(\frac{5}{2}\) 的平方,就是两个一位数的平方,是不是简单得多?\(2\) 和 \(5\) 的平方,即使是两个数的平方,也比一个两位数的平方容易计算得多!不信,如果我们换一个数字

\[y=x^2+9x+19\]

那就需要计算 \(4.5\) 的平方,这个数估计一般人心算不出来,得用竖式乘法来算。而 \(\frac{9}{2}\) 的平方,几乎每个人都可以在一秒钟之内算出来 。

一句话,尽量避免小数的运算。能够用分数、根式、\(\pi, e\) 这些进行运算的,就不要使用小数。如果考试要求用小数表示出来,也是在最后一步化成小数。

第五,当解题方式有几种选择时,选取最快,最简便的解题方式。例如,解二次方程时,能够用因式分解就不要用二次根式解的公式。因式分解时,交叉相乘是最快的方式,而不是先将 \(a,c\) 相乘,再分解,再除以 \(a\) 的方式。

我们前面那个解方程的例题,

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

我们可以两边同时平方,然后再移项,简化,但是得到的式子却复杂多了,虽然也能解出来 ,但是效率却差了很多!

第六,记住所有重要的公式,而不依赖于公式纸。北美的考试中,大部分都有一张 cheat sheet,也就是公式表。我经常跟学生说,不要去看那张纸,如果依赖于那个公式表来答题,肯定不会有好成绩,因为你效率太低了呀。你有多少时间花在找公式的过程中去了。考试是有时间限制的,你花太多时间在找公式中,那么留给你答题的时间就少了呀。如果你记住了这些公式,你答题时,就不需要去花时间翻公式表。更糟糕的是,有时候你即使你看了公式表,你也不知道该用哪个公式!

当然,记住重要的公式,不是让学生去背这个公式表。这些公式都是通过不断的练习中记住的。我也经常跟学生说,做题时,也不应该去看着公式表来做题。只有当你需要确定你使用的公式是否正确的情况下,才去看公式表。这样记住的公式才记得牢,用得准,算得快。

一阶线性微分方程的积分因子法

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

积分因子法的基本思想就是,将方程乘以 一个函数,将方程的右边变成一个函数的导数,然后两边积分,就可以求出未知函数了。

对于 一阶线性微分方程来说,积分因子是比较好找的,因为含有未知函数的就只有两项,导数含有两项的就是两个函数的乘积了。

我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\),我们现在将它找出来。将它乘以方程两边,我们得到

\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]

因为第一项是 \(\mu(x)y’\),所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\),利用乘积求导法则,我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\),利用分离变量法,可以求出它的一个解

\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]

也就是说,这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\),将它乘以方程两边,我们得到

\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]

两边积分 ,我们得到

\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]

再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \),就得到了方程的解

\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]

这个公式 ,与我们用常数变易法求得的公式是一致的。

如何求一个向量组的极大无关组,以及如何用极大无关组线性表示其它向量?

我们求向量的极大无关组,并且把其它向量用极大无关组表示的方法和步骤是:先将向量组排成一个矩阵,对此矩阵作初等行变换,化成行最简矩阵。每个非零行的第一个非零元所在的列所对应的向量为极大无关组的向量。而其它向量的表示 可以直接从行最简矩阵得到。

我们求向量的极大无关组,并且把其它向量用极大无关组表示的方法和步骤是:

  • 首先将所有列向量排成一个矩阵(如果是行向量, 先转置成列向量);
  • 将所得到的矩阵作初等行变换,化成行最简矩阵;
  • 每个非零行的第一个非零元(\(1\))所在的列,所对应原矩阵的列向量,就是极大无关组的向量,所有这些向量组成了极大无关组;
  • 行最简矩阵的列向量之间的关系,与原矩阵的列向量组之间的关系是一样的。也就是说,极大无关组与其它向量的关系,与行最简矩阵里列向量的关系一样。

这里我们说明一下:极大无关组可以有不同的选择,但是我们这里的选择方式比较直观,不容易出错,而且向量之间的关系一目了然,最容易计算,易于操作。

现在我们举例说明如何使用这种方法。

例:设有向量组

\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\]

求该向量组的一个极大无关组,并把其它向量用极大无关组表示。

解:我们先把向量组排成一个矩阵

\[A=( \vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \vec{a}_4 \quad \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\]

对此矩阵作初等变换,将矩阵化成行最简矩阵 (省去中间步骤) ,我们有

\[\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&-9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

我们看到,非零行是一、二、三行,第一行第一个非零元在第一列,它对应 \(\vec{a}_1\),第二行的第一个非零元在第二列,它对应 (\vec{a}_2\),第三行的第一个非零元在第四列,它对应 (\vec{a}_4\),所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

现在我们将 \( \vec{a}_3 , \vec{a}_5\) 用极大无关组表示。因为在行最简矩阵里,第三列与第一、二、四列的关系为

\[\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \]

所以

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \text{即} \begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix} =3 \begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix} \]

再从行最简矩阵第五列与第一、二、四列的关系

\[\begin{pmatrix}14\\-7\\-2\\0\end{pmatrix}=-7 \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \]

知道

\[\vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4,\quad \text{即} \begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix} =-7 \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}-2 \begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

可以验算一下,这两个表示式是正确的。

如何求矩阵的逆矩阵( how to find inverse matrix)?

求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是将 \([A I]\) 做初等变换,如果 \(A\) 化成了单位矩阵,则单位矩阵化成了 \(A\) 的逆矩阵。

求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:

  • 将矩阵 \(A\) 与单位矩阵 \(I\) 排成一个新的矩阵 \((A \quad I)\)
  • 将此新矩阵 \(( A \quad I )\) 做初等行变换,将它化成 \(( I \quad B )\) 的形式
  • \(B=A^{-1}\)

若 \(A\) 是一个二阶方阵

\[A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\]

则它的逆矩阵可以直接使用公式

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]

来计算。我们来看几个例子。

例1:求二阶矩阵

\[A=\begin{pmatrix}8&6\\ 5&4\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

\[\begin{align*}A^{-1}&=\frac{1}{8\cdot4-6\cdot5}\begin{pmatrix}4&-6\\ -5&8\end{pmatrix} \\& =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-6\\ -5&8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-3\\ -\frac{5}{2}&4 \end{pmatrix}\end{align*}\]

例2:求矩阵

\[A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ -3&1&4\\ 2&-3&4\end{pmatrix} \]

的逆矩阵。

解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换

\[\begin{align*}(A\quad I)&=\begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ -3&1&4 &\vdots& 0&1&0\\ 2&-3&4 &\vdots& 0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&-3&8 &\vdots& -2&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&1 &\vdots& \frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{align*}\]

所以我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 8&3&1\\ 10&4&1\\\frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \]

我们看到的这个矩阵是三阶的,利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上,矩阵的阶数越高,节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵,三阶矩阵的话,需要计算一个三阶行列式,九个二阶行列式。四阶的话,需要计算一个四阶行列式,十六个三阶行列式,手算的话,已经让人难以接受了。

我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

例3:求矩阵

\[A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&1&2\\ 1&1&1&-1\\ 1&0&-2&-6\end{pmatrix}\]

的逆矩阵。

解:我们将下述矩阵做初等变换

\[ \begin{align*} (A\quad I)&= \begin{pmatrix}1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0 \end{pmatrix} \\& \sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1\\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2 \\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&0 &\vdots &24&-6&-30&19\\ 0&1&3&0 &\vdots &-20&5&26&-16 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&1&0 &\vdots &-1&0&2&-1 \\ 0&0&0&1 &\vdots &4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

所以,我们得到

\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 22&-6&-26&17\\ -17&5&20&-13 \\ -1&0&2&-1 \\ 4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \]

降阶法求二阶常系数线性微分方程的解

对于二阶常系数线性微分方程,不管是齐次的方程还是非齐次的方程,都可以用降阶法来求解。这种方法,优点有两个,第一个优点是,不管方程是齐次的还是非齐次的,都可以用统一的方法来求解;第二个优点是,对于非齐次方程来说,不管非齐次项具有什么形式,与特征根有什么关系,处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。

对于二阶常系数线性微分方程,不管是齐次的方程还是非齐次的方程,都可以用降阶法来求解。这种方法,优点有两个,第一个优点是,不管方程是齐次的还是非齐次的,都可以用统一的方法来求解;第二个优点是,对于非齐次方程来说,不管非齐次项具有什么形式,与特征根有什么关系,处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。

我们用例子来说明,怎么样用降阶法来求二阶常系数线性微分方程。

例1:求解微分方程

\[y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^x\]

解:方程可以写成

\[\begin{align*}& y ^{\prime\prime} -2y’-3y’+6y=xe^x \\ \Longrightarrow& (y ^{\prime\prime} -2y’)-3(y’-2y)=xe^x \\ \Longrightarrow & (y’-2y)’-3(y’-2y)=xe^x\\ \end{align*}\]

这时候,如果令 \(z= y’-2y \),则方程变为

\[z’-3z=xe^x\]

这是一个一阶线性微分方程,我们知道它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{3x}\left(\int e^{-3x}xe^xdx+ C_1\right)\\ &= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}\end{align*}\]

代回到原来变量,我们有

\[y’-2y= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} \]

这依然是一个一阶线性微分方程,它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} )dx+C_2\right)\\ &=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+\frac{1}{18}e^{-3x}+\frac{1}{12}e^{-3x}\\ &= C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+ \frac{5}{36}e^{-3x}\end{align*}\]

这里我们演示了如何利用降阶法来求二阶常系数线性微分方程的解。事实上,如果齐次微分方程对应的特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 有两个特征根 \(\lambda_1,\lambda_2\) (不管是不是重根,是不是实根),则微分方程

\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\]

可以写成

\[\qquad y^{\prime\prime}-(\lambda_1+\lambda_2)y’+\lambda_1\lambda_2y=f(x) \]

\[\Longrightarrow(y’-\lambda_2y)’-\lambda_1( y’-\lambda_2y )=f(x)\]

这时候,我们只需要令 \(z= y’-\lambda_2y \),就可以将二阶方程化成一阶方程了。这就是降阶法的基本思想。

我们再来看一看重根和复根的情形。

例2:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}-4y’+4y=e^{2x}\sin x\]

解:方程的特征方程为 \(r^2-4r+4=0\),它有重特征根 \(\lambda_{1,2}=2\),所以方程可以写成\[(y’-2y)’-2(y’-2y)= e^{2x}\sin x \]

作代换 \(z= y’-2y \),则方程变为 \(z’-2z= e^{2x}\sin x \),它有解

\[\begin{align*}z&=e^{2x}\left(\int e^{-2x} e^{2x}\sin x dx+C_1\right)\\ &=C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x\end{align*}\]

代回原来变量,我们得到

\[y’-2y= C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x )dx+C_2\right)\\ &=C_1xe^{2x}+C_2e^{2x}-e^{2x}\sin x\end{align*}\]

例3:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}+4y=e^x\]

解:这个方程的特征方程为 \(\lambda_{1,2}=\pm 2i\),所以方程可以分解成

\[(y’-2iy)’+2i(y’-2iy)=e^x\]

作代换 \(z= y’-2iy \),则方程变为 \(z’+2iz=e^x\),它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{-2ix}\left(\int e^{2ix}e^xdx+C_1 \right) \\ &=C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \end{align*}\]

回到原来变量,我们有

\[y-2iy= C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&= e^{2ix}\left(\int e^{-2ix}\left( C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x dx\right)+C_2 \right)\\ &=C_1e^{-2ix}+C_2e^{2ix}+\frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

这里的\(C_1\) 与第一个等式的 \(C_1\) 相差一个复数常数。应用欧拉公式(Euler 公式)\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\),上式变成

\[\begin{align*}y&=C_1(\cos 2x-i\sin 2x)+C_2(\cos 2x+i\sin 2x)+ \frac{1}{5}e^x \\ &=(C_1+C_2)\cos 2x+i(C_2-C_1)\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \\&=\tilde{C_1}\cos 2x+\tilde{C_2}\sin 2x+ \frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

我们仍然用 \(C_1,C_2\)表示 \(\tilde{C_1},\tilde{C_2}\),那么方程的通解为

\[y=C_1\cos2x+C_2\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \]

从以上的计算我们可以看出,不管特征根是单根、重根还是复根,处理的方式是一样的。而且我们也看出,我们也不需要考虑非齐次项的形式。这与我们通常采用的待定系数法有根本的区别。

这种降阶法可以应用到高阶常系数线性微分方程。事实上,这种降阶法也称之为算子法或者算子分解法。算子法更一般的处理方式,我们就不展开论述了。

如何用半角代换(万能代换)求积分?

半角代换,指的是用代换 \(u=\tan \frac{x}{2}\) 将三角函数化简的一种积分方法。 因为这个代换能将任意的三角有理函数化成有理函数,因而也称之为万能代换。

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半角代换,指的是用代换 \(u=\tan \frac{x}{2}\) 将三角函数化简的一种积分方法。 因为这个代换能将任意的三角有理函数化成有理函数,因而也称之为万能代换。我们知道,任何的有理函数都是可以求得出它的不定积分,因而所有的三角有理函数也是可以求它的不定积分。

因为所有的三角函数都可以表示成 \(\sin x, \cos x\) 的表达式,所以我们只需要知道这两个函数在半角代换下的表达式即可。我们利用三角形来导出这些表达式。因为 \(u=\tan\frac{x}{2}\),由 \(\tan x\) 的定义,我们知道三角形的关系如图

\begin{tikzpicture}
[+preamble]
    \usepackage{tikz}
    \usepackage{pgfplots}
    \pgfplotsset{compat=newest}
[/preamble]
    \draw (0,0)--(6,0)--(6,4)--(0,0);
  \draw (1.5,0) to [out=90, in=315](1.2,0.8);
\node [above] at (1,0){$\frac{x}{2}$};
\node [right] at (6,2) {$u$};
\node [below] at (3,0) {$1$};
\node [above,el] at (3,2.5) {$\sqrt{1+u^2}$};
\end{tikzpicture}

从图形上可以看出

\[\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}},\quad \sin\frac{x}{2}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\]

从三角恒等式 \[\sin2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x \]可以得到

\[\sin x=\sin(2\cdot\frac{x}{2})=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}= \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} =\frac{u}{1+u^2} \]

\[\cos x=\cos (2\cdot\frac{x}{2})=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+u^2}-\frac{u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}\]

最后,我们需要导出 \(dx\) 的表达式。 因为 \(x=2\arctan u\), 所以 \[dx=\frac{2}{1+u^2}du\]

总结起来,我们有

\[\sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du\]

有了这些公式之后,我们就可以用半角代换来求三角有理函数的积分了。我们来看两个例子。

例1:求积分

\[\int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x}\]

解:应用半角代换 \(u=\tan\frac{x}{2}\),我们有\( \sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du \),代入到积分里,得到

\begin{align*} \int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x} &= \int\frac{1}{3 \frac{u}{1+u^2} -4 \frac{1-u^2}{1+u^2} }\cdot \frac{2}{1+u^2}du \\ &=2\int\frac{1}{6u-4+4u^2}du=\int\frac{1}{ 2u^2+3y-2 }du\\ &=\int\frac{1}{(2u-1)(u+2)}du\end{align*}

利用有理函数的分式分解(参考有理函数的积分),我们有

\[ \frac{1}{(2u-1)(u+2)} =\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2u-1}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{ u+2 }\]

所以原积分变为

\begin{align*} \int\frac{dx}{3\sin x-4\cos x} &= \frac{2}{5}\int\frac{1}{2u-1}du-\frac{1}{5}\int\frac{1}{ u+2 }du \\ &= \frac{1}{5} \ln|2u-1|-\frac{1}{5}\ln|u+1|+C \\&= \frac{1}{5}\ln\left|\frac{2u-1}{u+1}\right|+C \\ &=\frac{1}{5} \ln\left|\frac{2\tan\frac{x}{2}-1}{\tan\frac{x}{2}+1}\right|+C \end{align*}

例2:求积分 \[\int\frac{dx}{\sin x+\tan x}\]

解:作变换 \(u=\tan\frac{x}{2}\),我们有 \( \sin x=\frac{u}{1+u^2},\quad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\quad dx=\frac{2}{1+u^2}du \),那么\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{u}{1-u^2}\),所以原积分为

\begin{align*} \int\frac{dx}{\sin x+\tan x} &= \int\frac{1}{\frac{u}{1+u^2}+\frac{u}{1-u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du\\ &=\int\frac{1-u^2}{2u}du=\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{4}u^2+C\\ &=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2}+C\end{align*}

如何求 \(\tan^nx, \sec^nx\) 的积分?

形如 \[\int\tan^xdx, \int\cot^nxdx, \int\sec^nxdx, \int\csc^nxdx\]的积分,基本上可以通过换元法或者分部积分法得出一个递推式,然后用递推法求得出它们的积分。

形如 \[\int\tan^xdx, \int\cot^nxdx, \int\sec^nxdx, \int\csc^nxdx\]

的积分,基本上可以通过换元法或者分部积分法得出一个递推式,然后用递推法求得出它们的积分。这种类型的积分,递推式比较容易求得。我们来看看怎么做

\[\begin{align*}I_n&=\int\tan^nxdx\\ &=\int\tan^{n-2}x\tan^2xdx\\ &=\int \tan^{n-2}x(\sec^2x-1)dx\\ &=\int \tan^{n-2}x\sec^2x-\int\tan^{n-2}xdx\\ &=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2} \end{align*} \]

再由

\[\int\tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C\]

和 \[\int\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)dx=\tan x-x+C\]

即可求出积分。例如

\[\begin{align*}\int\tan^5xdx&=\frac{1}{4}\tan^4x-\int\tan^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -(\frac{1}{2}\tan^2x -\int\tan xdx)\\ &= \frac{1}{4}\tan^4x -\frac{1}{2}\tan^2x- \ln|\cos x|+C \end{align*}\]

\[\begin{align*} \int\tan^6xdx&=\frac{1}{5}\tan^5x-\int\tan^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -(\frac{1}{3}\tan^3x -\int\tan^2 xdx)\\ &= \frac{1}{5}\tan^5x -\frac{1}{3}\tan^3x+ \tan x-x+C \end{align*}\]

对于 \(\cot^nx\) 的积分,同样的处理即可。

我们现在来看 \(\sec^nx, \csc^nx\) 的积分。这里需要用到分部积分法

\[\begin{align*}I_n=\int\sec^nxdx&=\int\sec^{n-2}x\sec^2xdx\\ &=\sec^{n-2}\tan x-\int\tan x(n-2)\sec^{n-3}x\tan x\sec xdx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x\tan^2 x\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n-2}x (\sec^2x-1)dx\\ &= \sec^{n-2}\tan x – (n-2)\int\sec^{n}xdx +(n-2)\int\sec^{n-2}xdx \end{align*}\]

将右边\( (n-2)\int\sec^{n}xdx \)移项到左边,我们得到

\[(n-1)I_n= \sec^{n-2}\tan x +(n-2)I_{n-2}\]

也就是 \[I_n=\frac{1}{n-1} \sec^{n-2}\tan x +\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]

再由

\[\int\sec xdx=\ln|\tan x+\sec x| +C\]

和 \[\int\sec^2xdx=\tan x+C\] 就可以求出积分。例如

\[\begin{align*}\int\sec^5xdx&=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}\int\sec^3xdx\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}\sec x \tan x+\int\sec x dx\right)\\ &= \frac{1}{4}\sec^3x\tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{4} \ln|\tan x+\sec x| +C \end{align*}\]

另外一个

\[\begin{align*}\int\sec^6xdx&=\frac{1}{5}\sec^4x\tan x+\frac{4}{5}\int\sec^4xdx\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{4}{5} \left(\frac{2}{3}\sec^2 x \tan x+\int\sec^2 x dx\right)\\ &= \frac{1}{5}\sec^4x\tan x + \frac{8}{15} \sec^2 x \tan x +\frac{4}{5} \tan x+C \end{align*}\]

如何求 \(\sin^n x, \cos^n x\) 的积分?

\(\sin^n x\) 和 \(\cos^n x\) 的积分方法主要有两种:第一种是根据 \(n\) 的奇、偶情况分别采用换元法或者降阶法来求;另一种是递推法。我们这里说明这两种方法。

\(\sin^n x\) 和 \(\cos^n x\) 的积分方法主要有两种:第一种是根据 \(n\) 的奇、偶情况分别采用换元法或者降阶法来求;另一种是递推法。

我们来看换元法和降阶法。设 \(n\) 是奇数,则我们采用换元法。例如

\[\begin{align*}\int\sin^5xdx&=\int\sin^4x\sin xdx\\ &=\int(1-\cos^2x)^2(-\cos x)’dx\\ &=-\int(1-2\cos^2x+\cos^4x)d(\cos x)\\ &=-\int(1-2u^2+u^4)du\\ &=-(u-\frac{2}{3}u^3+\frac{1}{u^5})+C\\ &= \frac{2}{3} \cos^3x-\cos x-\frac{1}{5}\cos^5x+C\end{align*}\]

对于 \(\cos^nx\) 同样处理。

如果 \(n\) 是偶数,则使用降阶法。我们知道 \(\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}, \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\)。所以

\[\int\sin^nxdx=\int\left( \frac{1-\cos(2x)}{2} \right)^{n/2}dx\]

\[ \int\cos^nxdx=\int\left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^{n/2}dx \]

从而使被积函数的阶降了一半。

例如

\[\begin{align*}\int\cos^4xdx&=\int \left( \frac{1+\cos(2x)}{2} \right)^2dx \\ &=\frac{1}{4}\int\left(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\right)dx\\ &= \frac{1}{4}\int\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right)dx\\ &= \frac{1}{4}\left(x+\sin(2x)+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin(4x)\right)+C \end{align*}\]

第二种方法就是递推法。这种方法的好处是可以不管 \(n\) 的奇偶性,对任何的自然数 \(n\) 都可以用。利用分部积分法

\[\begin{align*}\int\sin^nxdx&=\int\sin^{n-1}x\sin xdx\\ &=-\sin^{n-1}x\cos x+\int(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\cos xdx\\ & = -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2xdx\\ &= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int \sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\\ &= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int (\sin^{n-2}x-\sin^nx)dx \end{align*}\]

将右边的 \(\int\sin^nxdx\) 移到左边,我们得到

\[n\int\sin^nxdx= -\sin^{n-1}x\cos x+ (n-1)\int \sin^{n-2}xdx \]

如果记 \(I_n=\int\sin^nxdx\),则上式为

\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2} \]

那么只要给出 \(n\) 的值,我们就可以利用这个公式以及

\[\int\sin^0xdx=x+C, \quad \int\sin xdx=-\cos x+C\]



求出积分的值。

我们来看这个公式的应用。

\[\begin{align*}\int\sin^5xdx&= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x+\frac{4}{5}\int\sin^3xdx\\ &= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x +\frac{4}{5} \left(-\frac{1}{3}\sin^2x\cos x+\frac{2}{3}\int\sin xdx\right)\\ &= -\frac{1}{5}\sin^{4}x\cos x -\frac{4}{15} \sin^2x\cos x -\frac{8}{15}\cos x+C \end{align*}\]

\(\int\cos^nxdx\) 可以完全同样的方式处理。我们有

\[\begin{align*}\int\cos^n xdx&=\int\cos^{n-1}x\cos xdx\\ &=\cos^{n-1}x\sin x+\int(n-1)\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\ &= \cos^{n-1}x\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)dx \\ &= \cos^{n-1}x\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}xdx- (n-1) \int\cos^nxdx\end{align*}\]

所以

\[\int\cos^nxdx=\frac{1}{n} \cos^{n-1}x\sin x + \frac{n-1}{n} \int\cos^{n-2}xdx\]

例如

\[\begin{align*}\int\cos^4xdx&=\frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{2}{3} \int\cos^2xdx\\ &= \frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{2}{3} \left(\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int\cos^0xdx\right)\\ &= \frac{1}{4}\cos^3x\sin x+ \frac{1}{3} \cos x\sin x +\frac{1}{3}x+C \end{align*}\]

有理函数的积分,并非只有部分分式法

对于有理函数的积分 ,部分分式积分法并不是总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。

这篇文章我们考虑两个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx,\qquad \int\frac{x^2-1}{x^4+1}\]

这是两个有理函数的积分。我在之前的文章里说过 ,有理函数的积分,一般采用部分分式法,就是将有理函数分解成四种简单分式之和,然后对简单分式分别积分就行。对于有理函数的积分,总是能采用这种方法求得出它们的积分 (参见 不定积分求法总结)。 读者可以先试试用部分分式法求这两个积分,看看能不能积出来,需要花费多长时间。

我们的问题是,部分分式积分法对有理函数并不总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。我们来看第一个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx\]

对于这一个积分 ,如果采用部分分式法来积分 ,我们来看一下需要哪些步骤:

\[ \frac{1}{x^7-x} =\frac{1}{x(x^3-1)(x^3+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}\]

那么它的部分分式就该有五部分

\[\frac{A_1}{x}, \frac{A_2}{x-1},\frac{A_3}{x+1},\frac{B_1x+C_1}{x^2+x+1},\frac{B_2x+C_2}{x^2-x+1}\]

光是求这些系数就够烦琐的了,而且最后两个二次分式的积分还需要分成两个积分来求 。虽然这也能求出最后的积分,但这中间的过程绝不是一件有趣的事。

其实,这样的积分 ,我们有一种更有效,更简单的方式来求。我们来看解答。

解:积分可以写成

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx=\int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx\]

如果我们令 \(u= 1-\frac{1}{x^6} \),则 \(du=\frac{6}{x^7}\),则上式变为

\[\begin{align*} \int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx &=\frac{1}{6}\int\frac{6}{x^7}\frac{1}{1-\frac{1}{x^6}}dx\\ &= \int\ \frac{1}{6}\frac{1}{u}du\\ &=\frac{1}{6}\ln|u|+c \\ &=\frac{1}{6}\ln|1-\frac{1}{x^6}|+c\end{align*}\]

我们来看第二个例子。

\[\int\frac{x^2-1}{x^4-1}dx\]

解:这个积分初看起来,甚至都不知道怎么对分式进行分解(当然是可以进行分解的,只是不那么明显而已,你可以试一试)。但即使是我们找到了它的分解方式,使用部分分式法来求这个积分,也不是最有效的。 我们来看一下如何简便地求出这个积分。我们先对分子分母同除以 \(x^2\),得到了

\[\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\]

再对分母配方,我们得到

\[\int\frac{ 1-\frac{1}{x^2} }{(x+\frac{1}{x})^2-2}dx\]

这个时候注意到 \(\left( x+\frac{1}{x} \right)’= 1-\frac{1}{x^2} \),所以我们可以用代换 \(u= x+\frac{1}{x} \),从而积分可以变成

\[\int\frac{du}{u^2-2}\]

这时候我们再用部分分式 \[ \frac{1}{u^2-2}=\frac{1}{(u-\sqrt{2})(u+\sqrt{2})}=\frac{A}{u-\sqrt2}+\frac{B}{u+\sqrt2} \]

求出 \(A,B\),我们得到 \(A=\frac{1}{2\sqrt2}, B=-\frac{1}{2\sqrt2}\)。所以积分 变为

\[ \begin{align*}\int\frac{du}{u^2-2} &= \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u-\sqrt2}- \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u+\sqrt2}\\ &= \frac{1}{2\sqrt2}( \ln|u-\sqrt2|+\ln|u+\sqrt2|)+C\\ &= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2} \right|+C \end{align*}\]

代回原来变量,我们得到了

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt2}{x+\frac{1}{x}+\sqrt2} \right|+C \]

最后,我们看看,如果要用部分分式法求解,如何对被积函数进行分解。我们对分母进行配方

\[\begin{align*}\frac{x^2-1}{x^4+1}&=\frac{x^2-1}{(x^4+2x^2+1)-2x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2-2x^2}\\ &= \frac{x^2-1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1-\sqrt{2}x)}\\ &= \frac{A_1x+B_1}{x^2+1-\sqrt{2}x}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1-\sqrt{2}x} \end{align*}\]

剩下的部分留给读者去完成 。