高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的\(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当\(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 为 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 \(x\) 不断靠近 \(a\) 的时候, \(f(x)\) 无限靠近 \(A\),我们就说 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta>0\), 使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

如何用配方法将不含平方项的二次型化成标准形?

一般情况下,我们使用配方法化二次型为标准形的时候,用的是完全平方公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),如果多项式里有 \(a^2+2ab\),那么我们可以通过加一项 \(b^2\) 再减一项 \(b^2\) 的方法达到将这两项化成只剩下平方项的目的。也就是说

\[a^2+2ab=a^2+2ab+b^2-b^2=( a^2+2ab+b^2 )-b^2=(a+b)^2-b^2\]

这样,就只剩下两个平方项了。只要令 \(x=(a+b),y=b\),上式就可以变成\(x^2-y^2\),就是一个标准的二次型。

但是有些二次型,没有平方项,只有混合项,那么这个方法就不可以用了。那么怎么办呢?这个时候我们可以利用平方差公式,\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)将混合项化成标准形。例如,只有一项 \(x_1x_2\),那么令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2\),那么 \(x_1x_2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_1^2-y_2^2\)。这就是将不含平方项的二次型化成标准形的方法。

我们来看一个例子:用配方法将二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\]化成标准形。

解:令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=x_1-y_2, x_3=y_3\),则

\[ \begin{align*}f=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &=(y_1+y_2)(y_1-y_2)+(y_1+y_2)y_3+(y_1-y_2)y_3\\ &=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3\end{align*}\]

再对 \(y_1,y_3\) 进行配方,因为 \(y_1^2+2y_1y_3=(y_1+y^3)^2-y_3^2\),所以只要令 \(z_1=y_1+y_3, z_2=y_2, z_3=y_3\),则二次型变成\[f=z_1^2-z_2^2-z_3^2\]

一阶常系数齐次微分方程组求解总结

如果一阶微分方程组的系数都是常数,那么微分方程组可以写成矩阵的形式

\[{\bf x}’=A{\bf x}\]

对于这样的微分方程组,它的解可以分为三种情况。

  1. 如果矩阵 \(A\) 有相异的特征值  \(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 其对应的特征向量为 \({\bf \xi}_1,{\bf \xi}_2,\cdots, {\bf \xi}_n \),那么它的通解为\[{\bf x}=c_1{\bf \xi}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf \xi}_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_1{\bf \xi}_ne^{\lambda_nt}\]
  2. 如果矩阵 \(A\) 有一对复特征值 \(\alpha\pm i\beta\),其对应的特征向量为 \({\bf a}\pm i{b}\),那么微分方程的通解中含有项\[c_1e^{\alpha t}({\bf a}\cos \beta t-{\bf b}\sin \beta t)+c_2e^{\alpha t}({\bf a}\sin \beta t+{\bf b}\cos\beta t)\]
  3. 如果矩阵 \(A\) 有\(k\)重特征值 \(\lambda\),那么情况比较复杂,我们只处理二重根的情况
    • \(\lambda\) 有个线两个性无关的特征向量 \(\xi_1,\xi_2\),那么跟第一种情况类似,方程的通解中含有项 \[c_1e^{\lambda t}\xi_1+c_2e^{\lambda t}\xi_2\]
    • 如果对应 \(\lambda\)  的特征向量只有一个 \(\xi\),则通过解方程组 \((A-\lambda I)\eta=\xi\) 得到向量 \(\eta\),则方程的通解中含有\[C_1e^{\lambda t}\xi+c_2e^{\lambda t}(t\xi+\eta)\]

 我们用两个方程的方程组的例子来说明这些结论。

例1, 求微分方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}1&1\\ 4& 1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:因为 \[|A-\lambda I| =\begin{vmatrix}1-\lambda& 1\\ 4& 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\]

所以特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=-1\)。

当 \(\lambda_1=3\) 时,

\[A-\lambda I =\begin{pmatrix} -2& 1\\ 4& -2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]

所以我们得到特征向量为 \(\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\)。

当 \(\lambda_2=-1\) 时,可以得到特征向量为  \(\xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}\)。

所以方程组的通解为 

\[{\bf x}=c_1e^{3t}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}. \]

 

例2,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-2\\ 4&-1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:我们先求特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{pmatrix}3-\lambda& -2\\ 4& -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5\]

所以我们得到特征值为 \(\lambda_{1,2}=1\pm2 i\),将\(\lambda_{1}=1+2 i\) 代入 \(A-\lambda I\),  我们得到

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-2i& -2\\ 4& -2-2i\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1-i& -1\\ 0&0\end{pmatrix}\]

从而我们得到特征向量为 \(\begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\)。所以方程的通解为

\[\begin{align}{\bf x}&=c_1e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\cos 2t-\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\sin 2t\right)+c_2e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\sin 2t+\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\cos 2t\right)\\ &= c_1e^{t}\begin{pmatrix}\cos 2t\\ \cos 2t+\sin 2t\end{pmatrix}+c_2e^{t}\begin{pmatrix}\sin 2t\\ \sin 2t-\cos 2t\end{pmatrix}\end{align}\]

 

例3,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-4\\ 1& -1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:先求矩阵的特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}3-\lambda& -4\\ 1& -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.\]

所以我们得到二重特征值 \(\lambda_{1,2}=1\)。我们再来求特征向量,

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&0\end{pmatrix}.\]

从而我们只能得到一个特征向量 \(\xi=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)。所以方程组的一个线性无关的解为 \(e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\),为要求得另一个解,我们解线性方程组 \[(A-\lambda I) \eta=\xi,\] 也就是求解

\[\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\eta=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\]

这个方程组的一个解为 \(\eta=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\),所以我们可以得到微分方程组的通解为 、

\[{\bf x}=C_1e^t\xi+C_2e^t(t\xi+\eta)=C_1e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^t\begin{pmatrix}2t+1\\ t\end{pmatrix}\]

如何求隐函数(implicit functions)的二阶导数?

我们知道,求隐函数的二阶导数,方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,然后利用复合函数的求导法则,得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程,解这个方程,就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么,问题是,对于隐函数的二阶导数,我们是不是还要这样求呢?其实不必了,因为我们求出来一阶导数,它有个具体的表达式,我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\),那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数,它对 \(x\) 的导数是已知的(我们求一阶导数的时候就得到它了)。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例:设 \(xy+y^2=2\) ,求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.\]

再对 \(x\) 求导,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}.\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入,并化简,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]

如何计算向量场的曲线积分(line integral of vector field)

一般来说,向量场的曲线积分

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\]的计算方法主要有三种:直接计算,格林公式(Green’s Theorem)和Stokes 公式(Stokes’ Theorem)。每种方法,针对不同的情形,有不同的处理方法。我们针对这些情形分别进行讲解。

1,直接计算法:我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式,将曲线积分化成定积分来计算。

  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\) (三维)或者 \( \vec{r}(t)=\{x(t),y(t)\} \)(二维)给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\alpha}^{\beta}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt,\]其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是,这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小,起点就是在下限,终点在上限,这一点跟对弧长的曲线积分不同。 例如 \(\vec{F}=\{z,y,-x\}=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}\), \(L\) 由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{t,\sin t, \cos t\}\), \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\),那么积分\[\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, -t)\cdot(1,\cos t,-\sin t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(\cos t+\sin t\cos t+t\sin t)dt\end{align*}.\]剩下的部分就是计算定积分了。
  • 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\),那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot(1,f'(x))dx,\]

2,若 \(L\) 是平面曲线,则可以用格林公式(Green’s Theorem)来计算。

  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,且在曲线内部 \(\vec{F}\) 有一阶连续偏导数(就是每个分量都有一阶连续偏导数),这种情况可以直接应用格林公式;
  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,但是在曲线内部 \(\vec{F}\) 有奇点(一阶偏导数不存在或者不连续),这种情况我们通过添加辅助线,将奇点挖掉,然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去,就得到了原来的曲线积分的值;
  • 若 \(L\) 是平面开曲线,我们可以通过添加简单的辅助线(为了方便计算),使新的曲线成为一个简单闭曲线,然后应用格林公式,最后减去辅助线上的积分,就得到原曲线积分的值。

这一部分讲解起来内容比较多,可以看我们的视频教程:如何应用格林公式(Green’s Theorem) 求曲线积分

3,若 \(L\) 是一个空间闭曲线,则可应用Stokes 公式,将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上,可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。(因为以 \(L\) 为边界的曲面很多,我们可以选择最简单的曲面。)理论上来说,空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式,但一般来说,这样的计算相对繁琐,我们一般不考虑。这部分的内容可以观看视频:Stokes 定理

这三种方法是最常用的方法,当然还有一些其它的方法,例如积分与路径无关,全微分求积等等,但这些方法基本上是从三大定理推导出来的。除了直接计算的方法以外,我们只需要掌握三大定理的应用,曲线积分和曲面积分的部分就算是掌握了。

如何计算对弧长的曲线积分(line integral to arc length)?

对弧长的曲线积分,通常是具有形式 \(\int_L f(x,y)ds\)(二维)或者 \(\int_L f(x,y,z)ds\)(三维)。对弧长的曲线积分,计算方法是很直接的,没有太多技巧可言,运用弧微分 \(ds\) 的公式计算即可。
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\] 从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出,则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。

如何判定一个复级数是否为条件收敛(conditional convergence)?

我们知道,如果一个复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 的绝对值级数(每一项取模)

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\]

收敛,则级数本身是收敛的。现在的问题是,如果绝对值级数不收敛,如何判定一个复级数是否收敛,也就是条件收敛问题。

从复级数收敛的定义,我们可以知道, 一个复级数收敛,就是它的实部和虚部都收敛。由此我们知道,一个复级数是条件收敛,要么就是实部和虚部都是条件收敛,要么就是其中一个条件收敛,另一个绝对收敛。所以我们只需要应用实级数的收敛性判别法就可以了。

我们来看两个例子:

例1:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\]

的敛散性。

解:我们知道

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]

是发散的,所以级数不是绝对收敛。很显然,这个级数即有实数部分,也有虚数部分。我们将其分解成实部与虚部

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k}}{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i(-1)^{k}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k}\]

由交错级数的莱不尼兹判别法,实部和虚部都是收敛的,从而级数本身是收敛的。所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\) 条件收敛。

 

例2:判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}\]

的敛散性。

解:因为 \(|z_n|=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^{2n}}}>\frac{1}{n}\),由正项级数的比较判别法,级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}|\) 发散。也就是说,原级数不是绝对收敛。但是我们知道,\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\) 条件收敛,而\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) 绝对收敛,所以原级数条件收敛。

如何确定孤立奇点(isolated singularities)的类型?

复变函数中,孤立奇点的类型分为三种:可去奇点,极点和本性奇点。极点又可以分为简单极点和 \(m\) 阶极点。它们是根据函数的罗朗级数(Laurent Series)来定义的。我们设 \(a\) 为函数 \(f(z)\) 的奇点。

  • 可去奇点(removable sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式没有负指数项,则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 简单极点(simple pole):函数在\(a\) 处的罗朗级数展开式只有一项负指数项 \(c_{-1}(z-a)^{-1}\),则 \(a\) 为函数的简单极点;
  • \(m\) 阶极点(pole of order \(m\)):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式只有有限项负指数项,且\(a_{-m}\ne 0\) 而且对所有 \(n>m\),\(a_{-n}=0 \), 则 \(a\) 为函数的可去奇点;
  • 本性奇点(essential sigularity):函数在 \(a\) 处的罗朗级数展开式有无限项负指数项,则则 \(a\) 为函数的本性奇点。

事实上,如果每次需要用罗朗级数来确定奇点的类型,还是不很方便的。首先我们有一些非常简便的方式,就是用极限来判定是可去奇点、极点还是本性奇点。

  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=L\)为有限,那么 \(a\) 是函数的可去奇点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)=\infty\),则 \(a\) 是函数的极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}f(z)\)既不是有限,也不是无穷大;也就是极限不存在,则\(a\) 是函数的本性奇点。

另外,对于极点,我们还有以下几种判定方法:

用极限来判定:

  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)=L(\ne \infty)\),那么 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用函数的表达式来判定:

  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{z-a}\) 而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的简单极点;
  • 如果 \(f(z)=\frac{g(z)}{(z-a)^m}\),而 \(g(z)\) 在 \(a\) 处解析,则 \(a\) 是函数的 \(m\) 阶极点;

用零点的类型来判定:

  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的单根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的简单极点;
  • 如果\(f(z)=\frac{1}{g(z)\),而 \(a\) 是\(g(z)\) 的 \(m\) 重根,则则 \(a\) 是函数 \(f(z)\)的 \(m\) 阶极点;

我们用几个例子来说明如何利用上面所说的一些方法来判定奇点的类型。

例1:\(f(z)=\frac{z}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的可去奇点,因为

\[\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1.\]

(回顾一下 \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\) 或者 l’Hospital 法则)。

例2: \(f(z)=\frac{1}{e^z-1}\),\(0\) 为函数的简单极点,因为

\[\lim_{z\to 0}zf(z)=\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^z-1}=1\]

例3:函数 \(f(z)=\frac{5z+1}{(z-1)(2z+1)^2}\) 以 \(z=1\) 为简单极点,以\(-\frac{1}{2}\) 为二阶极点。

有时候,结合罗朗级数和上面几种判定方式,会更快捷有效。我们来看一个这样的例子。

例4:判定函数 \(f(z)=\frac{1}{z(e^z-1)}\) 的奇点类型。

解:我们知道 \(z=0\) 是函数的奇点。我们将 \(e^z\) 展开后得到

\[e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots,\qquad |z|<\infty\]

所以

\[z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots).\]

由于 \(\frac{1}{f(z)}=z(e^z-1)=z(z+\frac{z^2}{2!}+\cdots)=z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\cdots)\),可知 \(0\) 是 \(\frac{1}{f(z)}\) 二重根,所以 \(0\) 是 \(f(z)\) 的二阶极点。

如何计算参数方程的二阶及高阶导数?

在高等数学教材里,推导出了参数方程的二阶导数公式

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi”(t)\phi'(t)-\psi’t(t)\phi”(t)}{\phi’^3(t)}.\]

其中曲线的参数方程为 \(x=\phi(t), y=\psi(t)\)。但是,实际上,这个公式既不好记,又不好用。其实,参数方程确定的函数的二阶导数及高阶导数有更好的更有效的求法。我们来说明这种方法。

因为参数方程的一阶导数为

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)},\]

所以我们看得出,一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)还是关于 \(t\) 的函数,我们直接关于 \(x\) 再求导是不方便的,但是我们可以利用复合函数的求导法则,将关于 \(x\) 的导数转化成关于 \(t\)  的导数。由复合函数的求导法则

\[\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{dt}{dx}\\
&=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}
\end{align}\]

这上面一大堆的东西可能你会看得眼花缭乱。那么我们用一种简单的方式来说吧。因为 \(\frac{dy}{dx}\)是关于 \(t\) 的函数,我们假设 \(F(t)=\frac{dy}{dx}\),那么二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}F(t)\),把 \(t\) 看成中间函数,那么 \(F(t)\) 关于\(x\) 的导数就是 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}\),而 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{\phi'(t)}\),从而 \(\frac{d}{dx}F(t)=F'(t)\frac{dt}{dx}=F'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)}\)。

二阶以上的导数可以用相同的方法来求。我们用一个例子来说明这种方法。

例1, 求由参数方程
\[\begin{cases}
x=a\cos t\\
y=b\sin t
\end{cases}\]所确定的函数的二阶导数\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先计算一阶导数
\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.\]
所以,二阶导数为
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\phi'(t)}=-\frac{b}{a}(-\csc^2t)\frac{1}{-a\sin t}=-\frac{b}{a^2}\csc^3t\]

线性代数复习(十二):最小二乘解 Least Square Solution

所谓的最小二乘解,是当方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)没有解的时候,我们找出最接近它的解。也就是说,找出一个 \(\vec{y}\),使得 \(||A\vec{y}-\vec{b}||\) 的值最小。一个定理告诉我们,这样的解满足
\[A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\]
那么,在计算中,我们先计算 \(A^TA\) 和 \(A^T\vec{b}\),将\(A^TA\) 和 \(A^T\vec{b}\)都看成一个整体,然后运用求解线性方程组的方法来求解。所得到的解就是最小二乘解。

如果 \(A^TA\) 可逆,我们还可以直接得到解
\[\hat{\vec{x}}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}.\]