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如何求分布函数或者密度函数里的未知常数?

若连续性随机变量的分布函数或者密度函数含有未知常数,要求这样一个或者两个未知常数,我们要用到的是分布函数和密度函数的性质。由这些性质不难求出为这些未知常数。

我们常常碰到这样的问题,给出一个连续性随机变量的分布函数或者密度函数,含有未知常数,要我们求这样一个或者两个未知常数。

要求这样的未知常数,我们要用到的是分布函数和密度函数的性质,通常情况下我们用到的性质是

  • \(F(-\infty)=0, F(+\infty)=1\);
  • 若随机变量只分布在区间 \([a,b]\) 上,则 \(F(a)=0, F(b)=1\);
  • \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)。

若是分布函数,则用前两个性质,若是密度函数,则用后一个性质。我们来看几个例子。

例1:设随机变量的分布函数为\[F(x)=A+B\arctan x, \quad -\infty<x<\infty\] 求:系数 \(A\) 及 \(B\)。

解:(1)因为 \(\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}, \lim_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2} \),所以由

\[ F(-\infty)=0, F(+\infty)=1 \] 得到

\[A-\frac{\pi}{2}B=0, A+\frac{\pi}{2}B= 1\] 解出 \(A,B\), 我们得到

\[A=\frac{1}{2}, B=\frac{2}{\pi}\]

例2:设随机变量 \(X\) 的分布函数为

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ Ax^2,\quad 0\le x\le1\\ 1,& x>1\end{cases}\]

解:因为随机变量落在区间 \([0,1]\) 上,所以 \(F(0)=0, F(1)=1\),所以 \(A=1\)。

例3:设随机变量 \(X\) 的概率密度为

\[f(x)=\begin{cases}\frac{A}{\sqrt{1-x^2}},\quad &|x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{cases}\]

解:因为

\[1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-1}^1 \frac{A}{\sqrt{1-x^2}} dx=A\arcsin x\Big|_{-1}^1=A\cdot \pi\]

所以 \(A=\frac{1}{\pi}\)

当旋转轴不是坐标轴时,如何求旋转体的体积?

举例说明当旋转轴不是坐标轴时,如何求旋转体的体积。

我们知道,\(y=f(x), a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转时,我们用切片法(参见切片法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b \pi f^2(x)dx\]

当它绕 \(y\) 轴旋转时,我们用圆桶法(参见圆桶法求旋转体的体积)求得它的体积为

\[V=\int_a^b2\pi xf(x)dx\]

同样的分析,我们可以求得 \(x=g(y), c\le y\le d\) 分别绕 \(x\) 轴和 \(y\) 轴旋转时的旋转体体积

\[V_x=\int_c^d2\pi y g(y)dy,\quad V_y=\int_c^d\pi g^2(y)dy\]

那么,如果旋转轴不是坐标轴,那旋转体的体积怎么算呢?我们可以同样用切片法或者圆桶法来求得它们的体积。我们用例子来说明这些方法。

例1,求由曲线 \(y=x, y=\sqrt{x}\) 所围成的图形分别绕 \(y=-1\) 和 \(x=-1\) 旋转所得的旋转体的体积。

解:我们先求绕 \(y=-1\) 旋转的旋转体的体积。我们可以用外层的曲线旋转围出来的体积减去内层曲线旋转围出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\),外层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=x+1\), 内层曲线旋转的截面的半径为 \(y-(-1)=\sqrt{x}+1\),所以由切片法, 我们得到旋转面的面积为

\[V_x=\pi\int_0^1[(x+1)^2-(\sqrt{x}+1)^2]dx\]

现在我们用圆桶法求绕 \(x=-1\) 旋转所得的体积。我们还是用外层曲线绕出来的体积减去内层曲线绕出来的体积。对任何 \(0\le x\le 1\), 圆桶的内径为 \(x-(-1)=x+1\),外径为 \(x+\Delta x-(-1)=x+1+\Delta x\),高为 \(x-\sqrt{x}\) (上曲线减下曲线)所以圆桶壁的体积近似为

\[\pi( x+1+\Delta x )^2( x-\sqrt{x} )- \pi( x+1 )^2( x-\sqrt{x} )=2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x+\pi\Delta^2x( x-\sqrt{x} ) \]

略去高阶无穷小,圆桶壁的体积近似于

\[ 2\pi (x+1)( x-\sqrt{x} )\Delta x \]

求和之后再求极限,就是定积分

\[V_y=\int_0^12\pi(x+1)( x-\sqrt{x} )dx\]

分离变量法IV:齐次方程,常数项非齐次边界

如果方程是齐次的,而边界条件是非齐次的,我们可以利用叠加原理,将未知函数写成两个函数之和,其中一个函数满足边界条件,另一个函数满足方程和齐次边界条件。如果边界条件只是常数,我们可以先求出方程的一个稳态解,它满足方程的边界条件。

如果方程是齐次的,而边界条件是非齐次的,我们可以利用叠加原理,将未知函数写成两个函数之和,其中一个函数满足边界条件,另一个函数满足方程和齐次边界条件。满足边界条件的函数通常可以比较容易构造出来,剩下的那个函数可以通过分离变量法求解。将解得两个函数相加,就得到了方程的解。

如果边界条件只是常数,我们可以先求出方程的一个稳态解,它满足方程的边界条件。这样的函数很容易就求出来。我们还是以热方程为例来说明。

例:解初边值问题

\[\begin{cases}u_t-u_{xx},\qquad &0<x<\frac{\pi}{2}\\ u(0,t)=0,&u(\frac{\pi}{2})=1\\ u(x,0)=x\end{cases}\]

解:我们设 \(u(x,t)=u_{\infty}(x)+v(x,t)\),其中 \(u_{\infty}^{\prime\prime}(x)=0, u_{\infty}(0)=0, u_{\infty}(\frac{\pi}{2})=1\)。求解 \(u_{\infty}(x)\),我们得到 \(u_{\infty}=ax+b\),代入边界条件,我们得到

\[u_{\infty}(x)=\frac{2}{\pi}x\]

将它代入等式 \(v(x,t)=u(x,t)-u_{\infty}(x)\),利用原方程以及初边值条件,我们得到 \(v(x,t)\) 满足初边值条件

\[\begin{cases}v_t-v_{xx}=0,\qquad & 0<x<\frac{\pi}{2}\\ v(0,t)=0,& v(\frac{\pi}{2},t)=0\\ v(x,0)=(1-\frac{2}{\pi})x\end{cases}\]

应用分离变量法(分离变量法I),我们知道

\[v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-4n^2t}\sin(2nx)\]

其中 \[\begin{align*}b_n&=\frac{4}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\frac{2}{\pi})x \sin(2nx)dx\\ &= \frac{4}{\pi} (1-\frac{2}{\pi}) \left(-\frac{x}{2n}\cos(2nx)+\frac{1}{4n^2}\sin(2nx)\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \frac{(-1)^{n+1}}{n} (1-\frac{2}{\pi}) \end{align*}\]

所以,方程的解为

\[u(x,t)= \frac{2}{\pi}x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (1-\frac{2}{\pi}) e^{-4n^2t}\sin(2nx) \]

分离变量法III:齐次边界,非齐次方程,非齐次项与时间相关

齐次边界的非齐次方程,我们的一般处理方法是特征函数展开法。就是将未知函数、非齐次项及初始条件都用特征函数展开,其中未知函数的各系数待定,然后利用方程,求出未知函数里的系数,从而得到方程的解。

对于一般的齐次边界的非齐次方程,我们的一般处理方法是特征函数展开法。这种方法是分离变量法的一种特殊情形。这种方法类似于常微分方程里的常数变易法或者待定系数法。

我们先用分离变量法求出对应齐次方程的特征函数,然后将未知函数、非齐次项及初始条件都用特征函数展开,其中未知函数的各系数待定,然后利用方程,求出未知函数里的系数,从而得到方程的解。

我们仍然以热传导方程为例来说明这种方法,对于波动方程可类似地讨论。

例:解下列初边值问题:

\[\begin{cases}u_t-u_{xx}=xt(2-t),\quad &0<x<\pi\\ u(0,t)=0,&u(\pi,t)=0 \\ u(x,0)=\sin(2x)\end{cases}\]

由分离变量法我们知道, 对应齐次方程的特征函数为 \(X_n=\sin(nx)\),所以未知函数,非齐次项和初始条件都可以用特征函数展开:

\[\begin{align*}&u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)\sin (nx)\\ &x^2t=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\sin(nx)\\ &x=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(nx)\end{align*}\]

由傅里叶级数的系数表达式,我们得到

\[\begin{align*}f_n(t)&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xt(2-t)\sin(nx)dx\\ &=\frac{2}{\pi}t(2-t) \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx \\ &= \frac{2}{\pi}t(2-t) \left(-\frac{x}{n}\cos(nx)+\frac{1}{n^2}\sin(nx)\right)\Bigg|_{0}^{\pi}\\ &=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}t(2-t)\end{align*}\]

\[B_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(2x)\sin(nx)dx=\begin{cases}1,\quad &n=2\\ 0,& n\ne 2\end{cases}\]

这里我们可以直接应用三角函数的正交性。当然你也可以直接求积分来得到这些系数。又

\[u_t=\sum_{n=1}^{\infty}T'(t)\sin(nx),\quad u_{xx}=\sum_{n=1}^{\infty}-n^2T_(t)\sin(nx)\]

我们将这些表达式以及上面求得的系数代入方程里,我们得到

\[\sum_{n=1}^{\infty}(T’_n(t)-n^2T_n(t))\sin(nx)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}t(2-t) \sin(nx)\]

比较两边的系数,我们行到一系列的方程

\[T’_n(t)-n^2T_n(t)= \frac{2(-1)^{n+1}}{n}t(2-t), \quad n=1,2,3,\cdots \]

这是一阶线性常微分方程,它们的解为

\[T_n(t)= e^{n^2t} \left(-\frac{1}{n^2}e^{-n^2t}t(2-t)-\frac{1}{n^4}e^{-n^2t}(2-2t)-\frac{2}{n^6}e^{-n^2t}+C_n\right)\]

所以方程的解具有形式

\[u=\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n^2}t(2-t)-\frac{1}{n^4}(2-2t)-\frac{2}{n^6}+C_n e^{n^2t} \right) \sin(nx)\]

代入初始条件,我们得到

\[u(x,0)= \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{n^4}-\frac{2}{n^6}+C_n\right) \sin(nx)=\sin(2x) \]

从而\[c_n=\begin{cases}\frac{37}{32},\quad& n=2\\ \frac{2}{n^4}+\frac{2}{n^6},& n\ne 2\end{cases}\]

所以方程的解为

\[\begin{align*}u(x,t)&=(4e^t+t^2-4)\sin x+\left(\frac{37}{32}e^4t-\frac{1}{4}t(2-t)-\frac{1}{16}(2-2t)-\frac{1}{32}\right)\sin 2x\\ &+\sum_{n=3}^{\infty}\left( \frac{2}{n^4}e^{n^2t}+\frac{2}{n^6} e^{n^2t} -\frac{1}{n^2}t(2-t)-\frac{1}{n^4}(2-2t)-\frac{2}{n^6} \right)\sin(nx)\end{align*}.\]

我们上面的例子是以狄利可雷(Dirichlet)边界条件为例说明的,对于其它的边界条件,特征函数是不同的。我们把不同边界条件的特征函数列举在下面。

纽曼(Newmann)边界条件

\[u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0\Longrightarrow X_n(x)=\cos(\frac{n\pi x}{L})\]

混合边值问题I

\[u(0,t)=0, u_x(L,t)=0\Longrightarrow X_n(x)=\sin(\frac{(2k+1)\pi}{2L}x)\]

混合边值问题II

\[ u_x(0,t)=0, u(L,t)=0\Longrightarrow X_n(x)=\cos(\frac{(2k+1)\pi}{2L}x) \]

分离变量法 II:齐次边界,非齐次方程,非齐次项与时间 \(t\) 无关

对于非齐次项只与空间变量有关的非齐次方程,我们先求出一个稳态解,利用叠加原理,再利用分离变量法求解剩下的部分,就是求解一个带齐次边界条件的齐次方程。

我们求解非齐次偏微分方程时,如果边界条件是齐次的,一般的求解方法是采用特征函数展开法来求解。这种方法就是根据边界条件的类型,将未知函数、初始条件及非齐次项都展开成特征函数的级数形式,其系数待定。将这些函数的级数形式都代入方程,求出待定系数,从而求出未知函数的方法。本文不详细介绍这种方法,详细的介绍我留到下一篇文章。

如果非齐次项与时间 t 无关,我们也可以采用特征函数展开的方式来求解,但是我们有更有效的方法来求解。这种方法,我们先求出一个稳态解(对 t 的导数都为 \(0\),或者不含时间 t 的导数的方程),利用叠加原理,剩下的部分就是求解一个带齐次边界条件的齐次方程,这个我们在上一篇文章里已经介绍过了。

我们还是以热传导方程为例来说明这种方法,当然这种方法同样适用于波动方程。

例:用分离变量法求解初边值问题:

\[\begin{cases}u_t=\alpha^2u_{xx}+x, \qquad & 0<x<L\\ u(0,t)=0,& u(L,t)=0\\ u(x,0)=g(x)\end{cases}\]

我们看到非齐次项 \(f(x,t)=x\),只跟空间变量有关,与时间 \(t\) 无关。这时,我们只要设 \(u=u_{\infty}+v\),其中 \(u_{\infty}(x)\) 满足

\[\begin{cases}0=\alpha^2u_{\infty}^{\prime\prime}+x, \qquad & 0<x<L\\ u_{\infty}(0,t)=0,& u_{\infty}(L,t)=0\end{cases}\]

这是一个二阶常微分方程,我们只需要求两次积分就可以求出它的解了。

\[u_{\infty}^{\prime\prime}=-\frac{x}{\alpha^2}, \qquad u_{\infty}=-\frac{x^3}{6\alpha^2}+Ax+B\]

代入边界条件, 我们得到

\[B=0, A=\frac{L^2}{6\alpha^2}, \Longrightarrow u_{\infty}= -\frac{x^3}{6\alpha^2} + \frac{L^2x}{6\alpha^2} \]

将它的表达式代入方程 \(u=u_{\infty}+v\), \(v=u-u_{\infty}\),从而我们得到关于 \(v\) 的方程

\[ \begin{cases}v_t=\alpha^2u_{xx}, \qquad & 0<x<L\\ v(0,t)=0,& v(L,t)=0\\ v(x,0)=g(x)+ \frac{x^3}{6\alpha^2} – \frac{L^2x}{6\alpha^2} \end{cases} \]

那么 \(v\) 的求解跟之前讲的齐次方程,齐次边界的情形一样。使用分离变量法,注意到边界条件是狄利可雷边界条件,我们可以求得

\[v=\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-(\frac{n\pi}{L})^2}\sin \frac{n\pi x}{L}\]

其中\[a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{\pi}( g(x)+ \frac{x^3}{6\alpha^2} – \frac{L^2x}{6\alpha^2} )dx\]

所以,方程的解为

\[u= -\frac{x^3}{6\alpha^2} + \frac{L^2x}{6\alpha^2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-(\frac{n\pi}{L})^2}\sin \frac{n\pi x}{L} \]

高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的\(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当\(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 为 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 \(x\) 不断靠近 \(a\) 的时候, \(f(x)\) 无限靠近 \(A\),我们就说 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta>0\), 使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

如何用配方法将不含平方项的二次型化成标准形?

利用平方差公式,将不含有平方项的二次型通过配方法化成标准形。

一般情况下,我们使用配方法化二次型为标准形的时候,用的是完全平方公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),如果多项式里有 \(a^2+2ab\),那么我们可以通过加一项 \(b^2\) 再减一项 \(b^2\) 的方法达到将这两项化成只剩下平方项的目的。也就是说

\[a^2+2ab=a^2+2ab+b^2-b^2=( a^2+2ab+b^2 )-b^2=(a+b)^2-b^2\]

这样,就只剩下两个平方项了。只要令 \(x=(a+b),y=b\),上式就可以变成\(x^2-y^2\),就是一个标准的二次型。

但是有些二次型,没有平方项,只有混合项,那么这个方法就不可以用了。那么怎么办呢?这个时候我们可以利用平方差公式,\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)将混合项化成标准形。例如,只有一项 \(x_1x_2\),那么令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2\),那么 \(x_1x_2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_1^2-y_2^2\)。这就是将不含平方项的二次型化成标准形的方法。

我们来看一个例子:用配方法将二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\]化成标准形。

解:令 \(x_1=y_1+y_2, x_2=x_1-y_2, x_3=y_3\),则

\[ \begin{align*}f=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &=(y_1+y_2)(y_1-y_2)+(y_1+y_2)y_3+(y_1-y_2)y_3\\ &=y_1^2-y_2^2+2y_1y_3\end{align*}\]

再对 \(y_1,y_3\) 进行配方,因为 \(y_1^2+2y_1y_3=(y_1+y^3)^2-y_3^2\),所以只要令 \(z_1=y_1+y_3, z_2=y_2, z_3=y_3\),则二次型变成\[f=z_1^2-z_2^2-z_3^2\]

一阶常系数齐次微分方程组求解总结

如果一阶微分方程组的系数都是常数,那么微分方程组可以写成矩阵的形式

\[{\bf x}’=A{\bf x}\]

对于这样的微分方程组,它的解可以分为三种情况。

  1. 如果矩阵 \(A\) 有相异的特征值  \(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 其对应的特征向量为 \({\bf \xi}_1,{\bf \xi}_2,\cdots, {\bf \xi}_n \),那么它的通解为\[{\bf x}=c_1{\bf \xi}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf \xi}_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_1{\bf \xi}_ne^{\lambda_nt}\]
  2. 如果矩阵 \(A\) 有一对复特征值 \(\alpha\pm i\beta\),其对应的特征向量为 \({\bf a}\pm i{b}\),那么微分方程的通解中含有项\[c_1e^{\alpha t}({\bf a}\cos \beta t-{\bf b}\sin \beta t)+c_2e^{\alpha t}({\bf a}\sin \beta t+{\bf b}\cos\beta t)\]
  3. 如果矩阵 \(A\) 有\(k\)重特征值 \(\lambda\),那么情况比较复杂,我们只处理二重根的情况
    • \(\lambda\) 有两个线性无关的特征向量 \(\xi_1,\xi_2\),那么跟第一种情况类似,方程的通解中含有项 \[c_1e^{\lambda t}\xi_1+c_2e^{\lambda t}\xi_2\]
    • 如果对应 \(\lambda\)  的特征向量只有一个 \(\xi\),则通过解方程组 \((A-\lambda I)\eta=\xi\) 得到向量 \(\eta\),则方程的通解中含有\[C_1e^{\lambda t}\xi+c_2e^{\lambda t}(t\xi+\eta)\]

 我们用两个方程的方程组的例子来说明这些结论。

例1, 求微分方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}1&1\\ 4& 1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:因为 \[|A-\lambda I| =\begin{vmatrix}1-\lambda& 1\\ 4& 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\]

所以特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=-1\)。

当 \(\lambda_1=3\) 时,

\[A-\lambda I =\begin{pmatrix} -2& 1\\ 4& -2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]

所以我们得到特征向量为 \(\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\)。

当 \(\lambda_2=-1\) 时,可以得到特征向量为  \(\xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}\)。

所以方程组的通解为 

\[{\bf x}=c_1e^{3t}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}. \]

 

例2,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-2\\ 4&-1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:我们先求特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{pmatrix}3-\lambda& -2\\ 4& -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5\]

所以我们得到特征值为 \(\lambda_{1,2}=1\pm2 i\),将\(\lambda_{1}=1+2 i\) 代入 \(A-\lambda I\),  我们得到

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-2i& -2\\ 4& -2-2i\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1-i& -1\\ 0&0\end{pmatrix}\]

从而我们得到其中一个特征向量为 \(\begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\)。所以方程的通解为

\[\begin{align}{\bf x}&=c_1e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\cos 2t-\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\sin 2t\right)+c_2e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\sin 2t+\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\cos 2t\right)\\ &= c_1e^{t}\begin{pmatrix}\cos 2t\\ \cos 2t+\sin 2t\end{pmatrix}+c_2e^{t}\begin{pmatrix}\sin 2t\\ \sin 2t-\cos 2t\end{pmatrix}\end{align}\]

 

例3,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-4\\ 1& -1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:先求矩阵的特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}3-\lambda& -4\\ 1& -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.\]

所以我们得到二重特征值 \(\lambda_{1,2}=1\)。我们再来求特征向量,

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&0\end{pmatrix}.\]

从而我们只能得到一个特征向量 \(\xi=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)。所以方程组的一个线性无关的解为 \(e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\),为要求得另一个解,我们解线性方程组 \[(A-\lambda I) \eta=\xi,\] 也就是求解

\[\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\eta=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\]

这个方程组的一个解为 \(\eta=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\),所以我们可以得到微分方程组的通解为 

\[{\bf x}=C_1e^t\xi+C_2e^t(t\xi+\eta)=C_1e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^t\begin{pmatrix}2t+1\\ t\end{pmatrix}\]

如何求隐函数(implicit functions)的二阶导数?

我们知道,求隐函数的二阶导数,方法就是将隐函数方程的两边同时对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,然后利用复合函数的求导法则,得到 \(\frac{dy}{dx}\) 的方程,解这个方程,就得到了 \(\frac{dy}{dx}\) 的表达式。

那么,问题是,对于隐函数的二阶导数,我们是不是还要这样求呢?其实不必了,因为我们求出来一阶导数,它有个具体的表达式,我们对这个表达式再对 \(x\) 求导就行了。如果这个表达里还有 \(y\),那么就将它看成中间变量或者看成 \(x\) 的函数,它对 \(x\) 的导数是已知的(我们求一阶导数的时候就得到它了)。然后将它的表达式代入到二阶导数的表达里面就可以了。

我们来看一个例子。

例:设 \(xy+y^2=2\) ,求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求一阶导数。对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到

\[y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.\]

再对 \(x\) 求导,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{dy}{dx}(x+2y)-y(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}.\]

将 \( \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x+2y} \) 代入,并化简,我们得到

\[\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{y}{x+2y}(x+2y)+y(1-2\frac{y}{x+2y})}{(x+2y)^2}=\frac{2y^2+2xy}{(x+2y)^3}\]

如何计算向量场的曲线积分(line integral of vector field)

一般来说,向量场的曲线积分

\[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}\]的计算方法主要有三种:直接计算,格林公式(Green’s Theorem)和Stokes 公式(Stokes’ Theorem)。每种方法,针对不同的情形,有不同的处理方法。我们针对这些情形分别进行讲解。

1,直接计算法:我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式,将曲线积分化成定积分来计算。

  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\) (三维)或者 \( \vec{r}(t)=\{x(t),y(t)\} \)(二维)给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\alpha}^{\beta}\vec{F}\cdot\vec{r}'(t)dt,\]其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是,这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小,起点就是在下限,终点在上限,这一点跟对弧长的曲线积分不同。 例如 \(\vec{F}=\{z,y,-x\}=z\vec{i}+y\vec{j}-x\vec{k}\), \(L\) 由参数方程 \(\vec{r}(t)=\{t,\sin t, \cos t\}\), \(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\),那么积分\[\begin{align*}\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}&=\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, -t)\cdot(1,\cos t,-\sin t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(\cos t+\sin t\cos t+t\sin t)dt\end{align*}.\]剩下的部分就是计算定积分了。
  • 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\),那么积分 \[\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\cdot(1,f'(x))dx,\]

2,若 \(L\) 是平面曲线,则可以用格林公式(Green’s Theorem)来计算。

  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,且在曲线内部 \(\vec{F}\) 有一阶连续偏导数(就是每个分量都有一阶连续偏导数),这种情况可以直接应用格林公式;
  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,但是在曲线内部 \(\vec{F}\) 有奇点(一阶偏导数不存在或者不连续),这种情况我们通过添加辅助线,将奇点挖掉,然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去,就得到了原来的曲线积分的值;
  • 若 \(L\) 是平面开曲线,我们可以通过添加简单的辅助线(为了方便计算),使新的曲线成为一个简单闭曲线,然后应用格林公式,最后减去辅助线上的积分,就得到原曲线积分的值。

这一部分讲解起来内容比较多,可以看我们的视频教程:如何应用格林公式(Green’s Theorem) 求曲线积分

3,若 \(L\) 是一个空间闭曲线,则可应用Stokes 公式,将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上,可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。(因为以 \(L\) 为边界的曲面很多,我们可以选择最简单的曲面。)理论上来说,空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式,但一般来说,这样的计算相对繁琐,我们一般不考虑。这部分的内容可以观看视频:Stokes 定理

这三种方法是最常用的方法,当然还有一些其它的方法,例如积分与路径无关,全微分求积等等,但这些方法基本上是从三大定理推导出来的。除了直接计算的方法以外,我们只需要掌握三大定理的应用,曲线积分和曲面积分的部分就算是掌握了。