行列式(determinant)的计算技巧

对于阶数不高的,一般的数字行列式,最方便有效的计算方式是降阶法,或者说是初等变换+行列式展开。另外,将行列式化成三角形也是常用的一个方法。有些数字行列式具有一定的规律,我们可以利用这些规律来较快速地计算出它的值。

我们来看一些常见的数字行列式的例子。

例:计算行列式
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}\]
这个行列式,直接用降阶法,或者用化成三角形的方式,计算量较大。但是这个行列式有一些规律我们可以利用。我们看到,每一行或者每一列的元素都是一样的,只是排列顺序不同。或者可以这样说,它们的和都是相同的数字。所以对这个行列式,我们可以将所有的行(或者列)加到同一行(列)去,然后提出一个因子,再做初等变换,就容易多了。我们来看它的解法。

解:将行列式所有的列加到第一列去,我们得到了
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}\]
将第一列提出因子10, 然后将每一行减去第一行,我们得到了
\[
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
1&3&4&1\\
1&4&1&2\\
1&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
0&1&1&-3\\
0&2&-2&-2\\
0&-1&-1&-1
\end{vmatrix}\]
按第一行展开,然后将第一行加到第三行,乘以\(-2\)加到第二行,得到了
\[10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
2&-2&-2\\
-1&-1&-1
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
0&-4&4\\
0&0&-4
\end{vmatrix}=160\]

用初等变换法求\(n\)阶行列式(determinant)

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换,就是下列三种行列式的运算:

  • 交换两行(列)
  • 将某一行(列)乘上一个常数
  • 将某一行(列)乘上一个常数加到另一行(列)去

通过这种运算,我们可以将行列式化成三角形,或者将某一行或者列化成只有一个非0 ,然后再按该行或列展开,从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例:求行列式的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
2&3&4&\cdots&n&1\\
3&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
n&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

这里我们看到,每一行或者每一列的元素都相同,只是排列顺序不同。这种情形,我们可以将所有的行或列加到同一行或列去,然后再提出一个因子,情形就会变得简单些了。该行(列)的元素就全部变成了1, 然后通过减法,就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解:将所有的列加到第一列去,然后提出因子\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{(n+1)n}{2}\), 行列式变成
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
1&3&4&\cdots&n&1\\
1&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
1&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

从最后一行开始,依次减去前一行,我们可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&1&1&\cdots&1-n&1\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&1-n&1&\cdots&1&1
\end{vmatrix}\]

全部减去第二行,行列式变成了
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&0&0&\cdots&-n&n\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&n
\end{vmatrix}\]

最后一列依次加上\(2,3,… ,n-1\) 列,得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n-\frac{n(n-1)}{2}\\
0&1&1&\cdots&1&-1\\
0&0&0&\cdots&-n&0\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&0
\end{vmatrix}\]

先按第一行展开,再按最后一列展开,可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&-n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&-n& &0\\
-n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

每一列乘以(-1), 则
\[|A|=
(-1)^{n+1}(-1)^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&n& &0\\
n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 \(a_{1,n-2}a_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}\),它的逆序数为\(\sum_{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}\), 所以它的符号是\((-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}\). 最后我们得到行列式的值是
\[|A|=\displaystyle (-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}\]

怎么求矩阵的特征值(Eigenvalue)

方阵的特征值的计算历来是线性代数课程里较难掌握的一部分。它不仅涉及到带字母的行列式的计算,还包含了多项的求根的过程。现在我们来看看矩阵特征值的求法。

例 :求矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
1&-2&4\\
2&3&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}\]
的特征值.

求方阵\(A\)的特征值, 就是求多项式 \(|A-\lambda I|\) 的根. 它的基本步骤是这样的:

  1. 求出行列式 \(|A-\lambda I|\) , 它是一个关于 \(\lambda\) 的多项式 (就是特征多项式);
  2. 令多项式 \(|A-\lambda I |\) = 0, 求出 \(\lambda\) 的值 (就是特征值, 或者特征根)

现在我们来看这个题的完整的解法.

解:\(A\) 的特征多项式为
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\]

先交换1, 3 两行,再将第一行乘以 \(-2\) 加到第二行, 乘以 \(\lambda-1\)加到第三行, 再对第一列展开, 就得到
\[\begin{align}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1&1&1-\lambda\\
0&1-\lambda&-1+2\lambda\\
0&-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1-\lambda&-1+2\lambda\\
-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}
\end{align}\]

把第一列提出因子\(-1\), 并将第2 行第2 列的元素展开,可得
\[|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
-\lambda+3&(1+\lambda)(3-\lambda)
\end{vmatrix}=
(3-\lambda)\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
1&1+\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-3)(-\lambda)(\lambda-2).
\]

令\(|A-\lambda I|=0\), 就得到了方阵\(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_3=2\)

线性代数(Linear Algebra)怎么学

  1. 线性代数的基本计算技巧是初等(行)变换(row reduction),离开了这个技巧,计算基本上不能进行。需要用到的地方太多了,基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组,求逆矩阵,求特征向量,判定向量组的线性相关性等等。

    初等变换的基本技术有两点:其一、按列进行,先将第一列除第一个数字外,全部化成零。然后第二列,第三列等等进行。其二,每次找个最简单的数字的行做为基本行,进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。

  2. 线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性,可以用来求特征向量,可以用来判定矩阵是否可逆,可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。

    线性方程组的基本理论有两个方面,解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法,也就是初等变换的方法。、、

    而解的结构,又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。

    齐次方程:

    1. 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后,阶梯形(REF)矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
    2. 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)

    非齐次方程:

    1. 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
    2. 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
    3. 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
    4. 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\),其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解,\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个(特)解。
  3. 第二个计算技巧是行列式(determinant) 的计算。在计算特征值的时候,一定会用到行列式的计算。另外,还可以用行列来判定矩阵是否可逆,向量组是否相关,还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
  4. 线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量,这个一定要会。在矩阵的对角化,解常微分方程组,随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算,都是应用行列式和方程组的计算。

函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的一般方法是;

  1. 直接展开;对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
  2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式;例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
  3. 通过变形来利用已知的函数展开式;例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数,我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数,然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\),而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\),从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
  4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式;例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\),它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
  5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\),而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\),所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式:

  1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
  2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
  3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
  4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
  6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
  7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)

怎么找 Column space 和 Null Space (列空间和零空间)

Column space 和 Null space,听起来很难的样子,其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换(Row reduction),把矩阵变成行阶梯形(Row reduced form)后,Column space 的 basis 就很容易得到了,而求零空间,其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间(Vector space)完全可以由其基表示,所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步:将矩阵化成行阶梯形(REF)
第二步:找出每一个非零行,第一个非零元(pivot number)所在的列,对应的原矩阵里的列,就是列空间的基( Column space 的 basis)。

我们来看一个例子:设\(A\) 为如下的矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&-3&-7\\
-1&2&7&3&4\\
-2&2&9&5&5\\
3&6&9&-5&-2
\end{pmatrix}\]

通过初等行变换,它可以变成

\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\]

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行,它们的首个非零元在第一、二、四列,所以,列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列,也就是说,\(Col A\) 的基由下列三个向量组成:

\[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}
\]

或者说 \[{\rm Col} A= {\rm span}\left(\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}\right)\]

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义,\(Null A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\),所以,找零空间就是解方程组 \(A\vec{x}=0\}\) 。我们仍然以上面的 \(A\) 为例。我们先将它化成行最简形(RREF)
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-2&0&-3\\
0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

它的解是
\[\vec{x}=
C_1\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+C_2
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}
\]

所以零空间是
\[
Null A={\rm span}\left(\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}\right)
\]

怎么样求递推形式的极限?

所谓递推式,就是形如\[x_{n+1}=f(x_n,x_{n-1},\cdots, x_0)\]的函数或序列。遇到这种形式的极限,很多同学就不知道从哪里下手求极限。

其实,要求得这种形式的极限并不难,难的在于,我们经常忘记了最重要的一步,那就是,证明极限是存在的。

我们来看一个例子:
例:设数列\(\{x_n\}\)满足:
\[ 0< x_0 <1, x_{n+1}=x_n(2-x_n),\]
求\(\lim_{n\to \infty}x_n\)。

这里我们看一下这种极限怎么求。假如我们知道这个序列是有极限的,那么,我们知道,\(n\to \infty\)时,\(x_{n+1}\)和\(x_{n}\)都有同样的极限,我们设这个极限为\(A\),那么我们只需要求一个关于\(A\)的一个代数方程,就得到了我们要求的极限。

但这里关键的一步是,我们怎么确定这个序列是有极限的。我们所学的内容里面,有两个极限存在的准则,对这种递推形式的极限,通常能用的是“单调有界数列必有极限”。所以我们要证两件事,一个是序列是单调的,另一个要证明序列是有界的。我们来看看完整的解答过程。

解:假定序列的极限是存在的,设此极限为\(A\),那么:\[\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=A, \lim_{n\to\infty}x_{n}=A, \]

所以
\[A=A(2-A),\]

解此方程,可以得到 \(A^2=A\),那么\(A=1\) 或者 \(0\)。具体是 0 还是 1,我们要看我们的其余的证明过程。

现在我们证明这个序列的极限是存在的。因为\(0<x_0<1\),所以\(x_1=x_0(2-x_0)=2x_0-x_0^2\),配方,我们可以得到\(x_1=1-(1-x_0)^2\),所以 \(0<x_1<1\),所以序列是有界的。又因为 \(x_0<1\),所以 \(2-x_0>1\),所以 \(x_0(2-x_0)>x_0\)。我们用归纳法来证明,\(0<x_n<1\) 并且是单调增加的。

现在假设\(0<x_n<1\),那么,\(0<x_{n+1}=x_n(2-x_n)<1\),跟上述证明一样,\(x_{n+1}>x_n\),所以序列是单调增加的。

所以,\(\lim_{n\to\infty}x_n=1\)。(\(A=0\) 舍去,因为 \(x_n>0\))

二阶微分方程的常数变易法

我们都知道一阶线性微分方程的常数变易法,那是我们的高等数学里学到的一阶线性微分方程的公式的由来。其实,对于任何高阶线性微分方程,我们都可以用常数变易法来求得非齐次方程的通解。 这里我们仅讲述二阶方程的常数变易法,更高阶的方程可以用同样的方法求得方程的通解。

所谓常数变易法,就是在求得相应齐次方程的通解后,将齐次方程的通解里的任意常数用关于自变量的任意函数代替,然后代入到原非齐次方程里去,从而求得非齐次方程的特解的一种方法。由非齐次方程的解的定理,我们只需要将齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解,就得到了齐次方程的通解。我们在求一阶非齐次方程的通解的过程中,用的就是这一方法。现在我们将它推广到二阶去, 为叙述简便, 我们只考虑常系数方程的情形。

考虑二阶微分方程
\[y”+py’+qy=f(x),\]
这里 \(p, q\) 都是常数, 其对应的齐次微分方程为
\[y”+py’+qy=0.\]

现在设我们已知齐次微分方程 \(y”+py’+qy=0\) 的通解为
\[y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x).\]
我们将其中的任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\) 用关于 \(x\) 的任意函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 代替,来找一个非齐次方程的特解,此特解具有形式
\[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).\]
将此式对 \(x\) 求导,可以得到
\[y’_p(x)=(u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x))+(u_1(x)y’_1(x)+u_2(x)y’_2(x)).\]
因为函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 是任意的,所以我们可以取函数 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 使得
\[u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0\]
从而使方程得到简化。再对 \(y’_p\) 求导并应用上述条件,我们得到了
\[y”_p(x)=u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)+u_1(x)y”_1(x)+u_2(x)y”_2(x)\]

代回到原方程 \(y”_p(x)+py’_p(x)+qy_p(x)=f(x)\),我们得到了
\[\begin{align}
& u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)+u_1(x)y”_1(x)+u_2(x)y”_2(x) \\ &\quad +p((u_1(x)y’_1(x)+u_2(x)y’_2(x))+q(u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x))\\
&=f(x).\end{align}\]
因为 \(y_1,y_2\) 是齐次方程的解,所以
\[u_1(x)y”_1(x)+pu_1(x)y’_1(x)+qu_1(x)y_1(x)=0,\]及
\[u_2(x)y”_2(x)+pu_2(x)y’_2(x)+qu_2(x)y_2(x)=0.\]
所以 \(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 满足方程
\[u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)=f(x).\]
以及限制条件
\[u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0.\]

我们解联立方程
\[\begin{cases}
u’_1(x)y’_1(x)+u’_2(x)y’_2(x)=f(x),\\
u’_1(x)y_1(x)+u’_2(x)y_2(x)=0.
\end{cases}\]就可以求出方程的一个特解。

我们来看一个例子。

例:求方程
\[y”+4y=2\tan x\]
的通解。

解:齐次方程的特征方程为
\[r^2+4=0\]
特征根为 \(r_{1,2}=\pm 2i\) 。所以齐次方程的通解为 \(Y=c_1\sin 2x + c_2 \cos 2x\) 。现在我们用常数变易法来求方程的一个特解。

设 \(y_p=u_1(x)\sin 2x + u_2(x)\cos 2x\) 为方程的一个特解,\(u_1(x)\) 和 \(u_2(x)\) 满足条件
\[\begin{cases}
2u’_1(x)\cos 2x-u’_2(x)\sin 2x=2\tan x,\\
u’_1(x)\sin 2x+u’_2(x)\cos 2x=0.
\end{cases}\]

解此方程,用线性代数的方法,克莱姆法则。系数行列式为
\[D=\begin{vmatrix}
2\cos 2x&-2\sin2x\\
\sin2x&\cos2x
\end{vmatrix}=2.\]

\[D_1=\begin{vmatrix}
2\tan x&-2\sin2x\\
0&\cos2x
\end{vmatrix}=2\tan x\cos2x.\]

\[D_2=\begin{vmatrix}
2\cos 2x&2\tan x\\
\sin2x&0
\end{vmatrix}=-2\tan x\sin2x.\]

所以我们得到
\[\begin{cases}
u’_1(x)=\tan x\cos2x\\
u’_2(x)=-\tan x\sin2x
\end{cases}\]
积分可得
\[
\begin{cases}
u_1(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\ln(\sin^2x-1)+\sin^2x\\
u_2(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-x
\end{cases}
\]

所以微分方程的通解为
\[
y=c_1\cos2x+c_2\sin2x+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(\sin^2x-1)+\sin^2x\right)\cos2x+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-x\right)\sin2x
\]

初等变换技巧总结

总有同学问,初等变换有什么技巧吗?其实,初等变换已经是线性代数里最简单有效的技巧了,当然,它本身还是有一点点技巧的,应用这些技巧,可以让你的初等变换变得容易那么一点点。

初等变换的技巧并不多,总结起来,就这么三条:

  1. 逐列进行。如果是要化成三角形,第一步,将第一列除第一个元素外,全部化成0;接着,将第二列的第二个元素下方的全部化成 0 ;依此下去,直到最后一列。如果是化成行阶梯形,也是先从第一列开始,将第一个元素的下方全部化成 0 ;然后第二列,第三列等等。

    如果是要化成行最简,那么化成阶梯形后,再从最后一个阶梯开始,将每个阶梯的第一个非 0 元的上方化成,依次往前进行。

  2. 找最简单的数字。每次化简前,将最简单的数字所在的行交换到基础行。所谓基础行(这是我给的定义,呵呵),对于三角形来说,就是主对角线元素所在的行,例如,现在要化简第三列,那么第三行就是基础行,因为我们要将第三行第三列元素的下方都化成 0 。如果是要化成阶梯形,那么基础行就是已经化完了的行的下一行。
  3. 耐心。不要着急,因为初等变换要做很多数字的四则运算,很容易出错,也很容易让人厌倦,所以这时候耐心很重要。耐心才不容易出错。

现在我们来看一个例子,说明一下怎么用这两个原则,逐列进行与找最简单的数字。

例 1:将矩阵化成行最简矩阵
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

解:我们来看,这个矩阵怎么运用前面所说的两个法则。逐列进行,那么就是从第一列开始,将第一个元素的下方全部变成 0 。然后再第二列,第三列等等。来看第一列,第一列里最简单的数字是 1 ,所以将 1 所在的行交换到第一行(基础行),我们得到
\[\begin{pmatrix}
2&3&1&-3&-7\\
1&2&0&-2&-4\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\]

然后,将下方的数字全部变成 0 ,那么将第一行乘以 -2 加到第二行,乘以 -3 加到第三行,乘以 -2 加到第四行,得到
\[
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
2&3&1&-3&-7\\
3&-2&8&3&0\\
2&-3&7&4&3
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}
\]

现在第一列化完了,该化第二列了。我们看到,第二列里,最简单的是 -1,它就在第二行里,就不用交换了。现在将第二行乘以 -8 加到第三行,乘以 -7 加到第四行,得到

\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&-8&8&9&12\\
0&-7&7&8&11
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}
\]

现在该第三列了。但是因为第三列里,第三个元素之后都是 0 ,所以从阶梯形的定义,我们不需要对它进行运算。阶梯形里,第三个阶梯的第一个非 0 元在第四列,所以下一个是第四列,第四列里,第三个元素是 1 ,所以也不用交换行了,将第三行乘以 -1 加到第四行,就得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&1&4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

现在已经是行阶梯形了,如果要化成行最简,那么每一个阶梯的第一个非 0 元的上方也应该化成 0 。这个时候,就是从最后一个阶梯开始。我们看,最后一个阶梯的第一个非 0 元在第四列,第三行。所以,将第三行乘以 -1 加到第二行,乘以 2 加到第一行,我们得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&-2&-4\\
0&-1&1&1&1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

同理,将第二行乘以 2 加到第一行,得到了
\[\begin{pmatrix}
1&2&0&0&4\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

最后,将每一个阶梯的第一个非 0 元化成 1 。为此,只需要将第二行乘以 -1 ,我们的工作就完成了。
\[\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&-1&1&0&-3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim\begin{pmatrix}
1&0&2&0&-2\\
0&1&-1&0&3\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

级数判敛方法总结

级数判敛的方法众多,总结起来就有比较判别法,比较判别法的极限形式,比值判别法,根值判别法,极限判别法,积分判别法,交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数,应该应用哪一种方法最有效,这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试,那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。

判定一个级数是否收敛的关键,在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下,哪些形式应用哪些判别法则。

  1. 如果一眼能看出一般项的极限不趋于 \(0\),即 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0\),则级数发散;
  2. 如果级数具有形式 \(\sum 1/n^p\),那么就是一个 \(p-\) 级数。当 \(p\le1\) 时发散,当 \(p>1\) 时收敛;
  3. 如果级数具有形式 \(\sum a r^n\), 那么就是一个几何级数。当 \(|r|\ge1\) 时发散,当 \(|r|<1\) 时收敛;

这两种级数是最基本的级数,后面的几种判别法,差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。

  1. 如果级数的一般项是 \(n\) 的一个代数式(有理分式或者无理分式),那么该级数与某个 \(p-\)级数同敛散(极限判别法或者比较判别法的极限形式)。我们只需要在分式中保留关于 \(n\) 的最高阶项,所得到的项就是这个 \(p-\) 级数的一般项。例如,级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}\),它的一般项 \(\displaystyle\frac{1}{n^2+n+1}\sim \frac{1}{n^2}\),所以它与级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 同敛散。在这里,我们将级数的一般项关于 \(n\) 的最高阶项保留,就得到 \(1/n^2\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 就是我们要寻找的那个比较级数 。再如 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim \frac{1}{n}, (n\to \infty)\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 发散;
  2. 或者,简单地说,就是如果一个级数的一般项等价于一个 \(p-\) 级数的一般项,则级数与该 \(p-\) 级数同敛散;
  3. 同上,如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项,则级数与该几何级数同敛散;
  4. 如果级数含有 \(n!\) ,则比值判别法比较有效。 需要注意的是,比值判别法对 \(p-\) 级数失效,因而对任何级数一般项 \(n\) 的代数式的级数也失效;
  5. 如果级数的一般项 \(a_n=(b_n)^n\), 则首先考虑根值判别法;
  6. 如果级数的一般项是 \(n\) 的函数 \(f(n)\) 并且广义积分 \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) 较易求得,则可考虑使用积分判别法。
  7. 如果级数含有项 \((-1)^n\),则是一个交错级数,这时候,必定考虑莱不尼兹判别法(交错级数判别法)。