正项级数的积分判别法

有些教材用到了积分判别法来判别 \(p-\)级数的收敛性, 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理(积分判别法): 设 \(f(x)\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,并且 \(f(n)=a_n\), 那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 同敛散。 也就是说:

  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 收敛,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 发散,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 发散

我们不去证明这个定理,有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记:

  1. 对于这个定理,\(n\) 不一定要从 1 开始 。举例说,如果级数的第一项从 4 开始,那么我们的积分的下限就是 4 .
  2. \(f(x)\) 不一定需要在区间上一直单调,只需要它最终是单调的就行,也就是说,从某一项开始后,它是单调的。
  3. 级数的值不等于积分的值,这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数,那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\]
的敛散性。

解:我们看到,函数 \(\frac{1}{x^2+1}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法。因为
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x \Big|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\]
所以,积分是收敛的,从而由积分判别法,此级数收敛。

例 2:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\]的敛散性。

解:函数 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 在区间 \((1,\infty)\) 上为一连续、非负函数,但是否单调, 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
它在 \(x>e\) 时是单调减少的。根据我们前面的注记,这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
\[\int_1^{\infty}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}\ln^2x\Big|_1^{\infty}=\infty .\]
所以积分是发散的,从而,级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\) 是发散的。

例3:判别级数
\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\]的敛散性。

解:函数 \(\frac{1}{x\ln x}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x\ln x}=\ln^2(\ln x)\Big|_2^{\infty}=\infty .\]
所以级数发散。

怎样用递推法求不定积分

当我们碰到型如 \(\int x^n\sin xdx, \int ln^nxdx, \int \cos^nxdx\) 的积分时, 虽然可以重复使用分部积分法或者恒等变形等方法求出积分, 但其计算过程始终繁琐得很. 简单一点的方法, 就是我们先推出一个递推式, 然后用递推式求出积分. 更为复杂一点的函数, 如 \(\int\frac{1}{(1+x^2)^n}dx\), 我们没有别的方法来求, 只有使用递推法.

所谓递推, 就是被积函数是一个跟自然数 \(n\) 有关的函数,我们通过分部积分法, 得到积分与低一阶的积分有关, 就是积分可以写成关于 \(n-1\) 的类似的函数的积分, 然后逐步往后推, 最后得到积分的方法.

现在我们用例子来介绍这种积分方法.

例1: 导出积分 \(\int x^ne^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int x^5e^xdx\)

解: 由分部积分, 可以得到
\[\int x^ne^xdx=x^ne^x-\int n x^{n-1}e^xdx\]

如果记 \(I_n=\int x^ne^xdx\), 则上式就是 \(I_n= x^ne^x- nI_{n-1}\). 而 \(I_0=\int e^xdx= e^x+C\). 这就是我们得到的递推公式. 现在我们用这个递推公式求 \(\int x^5e^xdx\).

\[I_5= x^5e^x-5I_4= x^5e^x-5(x^4e^x-4I_3)=\cdots=x^5e^x-5x^4e^x+20x^3e^x-60x^2e^x+120xe^x-120e^x+C\]

例2: 导出积分 \(\int \sin^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\)

解: 我们还是用分部积分法来导出递推式. 设 \(I_n=\int \sin^xdx\), 那么
\[I_n=\int\sin^{n-1}x\sin xdx= -\int\sin^{n-1}xd(\cos x)dx = -\sin^{n-1}x\cos x+\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx\]

因为
\[\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx= \int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx=(n-1)( -I_n+I_{n-2}\]

将这个式子代入上式, 我们得到
\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]

这就是我们所得到的递推式. 现在我们应用这个递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\).

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x+\frac{5}{6}I_{4}=-\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x + \frac{5}{6}(-\frac{1}{4}\sin^{3}x\cos x + \frac{3}{4}I_2) \]

再递推一次, 我们就得到了

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x – \frac{5}{24}\sin^{3}x\cos x – \frac{15}{18}\cos x\sin x+\frac{15}{48}x+C\]

例3: 导出积分 \(I_n=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx\) 的递推式, 并用该递推式求 \(I_2\).

解: 由分部积分

\[\begin{align}
I_n&=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+\int(n+1)\frac{2x^2}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)\int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)I_n-2(n+1)I_{n+1}
\end{align}\]

从而得到递推式
\[I_{n+1}=\frac{1}{2n+2}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^n}+\frac{2n+1}{2n+2}I_n\]

将左边还是写成 \(I_n\) , 我们得到了递推式
\[I_n=\frac{1}{2n}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}\]

由此递推式, 我们可以得到
\[I_2=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(1+x^2)}+\frac{3}{4}I_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{4}\arctan x+C\]

怎么求矩阵方程?

求解矩阵方程,很像解一个一元一次方程,第一步就要”合并同类项”,将未知矩阵放在一起,然后利用逆矩阵来求解。我们来看例子。

例 1:解矩阵方程\(AB=A+2B\),其中
\[A=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}.\]

我们看到,两边都有\(B\),那第一步就是将要求的\(B\)放在一起。为此,我们将右边的\(2B\)移到左边,然后求\(A-2E\)的逆矩阵就可以得到\(B\)了。我们来看完整的过程。

解: 将方程右边的2B移到左边,方程变成了
\[AB-2B=A \rightarrow (A-2E)B=A.\]
所以,只要\(A-2E\)可逆,方程的解就是
\[B=(A-2E)^{-1}A.\]

现在我们来求\(A-2E\)的逆矩阵。首先,我们要证明其可逆。
\[|A-2E|=\begin{vmatrix}
-2&3&3\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1&-3&0\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=2\ne0\]
所以\(A-2E\)可逆。现在我们来求它的逆。

我们教材上讲了两种求逆矩阵的方法,一种是伴随矩阵的方法,另一种是初等变换法。不要傻傻地去用伴随矩阵来求逆矩阵,费力又不讨好。虽然那是最开始讲的一种方法。

求逆矩阵最简便的方法是用初等变换法。现在我们就用它来求\(A-2E\)的逆矩阵。
\[\begin{align}(A-2E,E)&=\begin{pmatrix}
-2&3&3&\vdots& 1&0&0\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r1 + r3 \times -3}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r3+r1}{\scriptsize{r2-r1}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&2&0&\vdots& -1&1&3\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r2\times \frac{1}{2}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r1+r2\times 3}{\scriptsize{r3+r2}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&0&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&0&1&\vdots &\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{align}\]

所以
\[(A-2E)^{-1}=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\]

将它乘在\(A\)的左边,就得到了\(B\):
\[\begin{align}B=(A-2E)^{-1}A&=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
-1&2&3\\
1&1&0
\end{pmatrix}
\end{align}\]

幂指函数及其极限与导数

幂指函数,看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\), 函数既像幂函数,又像指数函数,它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的,特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数,最常见的错误就是求导的时候,把它当成幂函数的复合函数,或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点,很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域:同指数函数一样,幂指函数要求它的底是正数,否则,函数可能就没有意义。例如,当 \(x<0\) 时,函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说,\(f(x)>0\),再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域,幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说,如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(u_1\),\(g(x)\) 的定义域为 \(u_2\),\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ,则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)

幂指函数的复合规则: 幂指函数是复合函数吗?答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合,也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数,通过什么样的规则复合而成的呢?

我们先来对它进行变形, 先对它取对数,再取 \(e\) 底,那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样,问题就简单多了,我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后,幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限: 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\), 则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。

如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限,就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式,接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候,指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型,然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 \(1^{\infty}\) 型的极限,还可以通过将它变形,运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数:在教材里,幂指函数的导数一般是用对数求导法来求,而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后,我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\), 那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\), 所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\),从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

将 \(u\) 回代,就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

如果熟悉了,可以直接这么求
\[
\begin{align}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align}\]

怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)?

这个问题,对于大多数同学来讲,不是什么大的困难。毕竟,它的定义还是比较好理解,而且有了极限的基础以后,计算也不是什么难题。但有时候,有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难,不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义:

  1. 如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\),则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线,或者铅直渐近线;
  2. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\),则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(X)\) 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向;
  3. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\),则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(X)\) 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候,需要确定函数的渐近线。 那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是:先找垂直渐近线,再找水平渐近线,最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线,也有可能三类渐近线都有。

  1. 垂直渐近线:垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么?因为从连续函数的性质知道,闭区间的连续函数有界,所以如果是连续的话,它的每一点的极限都是有限的(我们可以选一个很小的包含这点的连续区间)。
    找到不连续的点后,再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大,那么这点处就有垂直渐近线。
  2. 水平渐近线:确定垂直渐近线后,就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大,如果极限存在(不包括无穷大,无穷大是极限不存在的一种),那么就有水平渐近线;
  3. 斜渐近线:如果一个方向有水平渐近线,就不会有斜渐近线。也就是说,一个方向有水平渐近线,就不用找斜渐近线了(为什么?)。 如果没有水平渐近线,就来确定有没有斜渐近线。
    找斜渐近线的方式为: 先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\),如果极限存在,值为 \(a\),则可确定有斜渐近线。接着,求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax\),如果极限为 \(b\),则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)

行列式(determinant)的计算技巧

对于阶数不高的,一般的数字行列式,最方便有效的计算方式是降阶法,或者说是初等变换+行列式展开。另外,将行列式化成三角形也是常用的一个方法。有些数字行列式具有一定的规律,我们可以利用这些规律来较快速地计算出它的值。

我们来看一些常见的数字行列式的例子。

例:计算行列式
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}\]
这个行列式,直接用降阶法,或者用化成三角形的方式,计算量较大。但是这个行列式有一些规律我们可以利用。我们看到,每一行或者每一列的元素都是一样的,只是排列顺序不同。或者可以这样说,它们的和都是相同的数字。所以对这个行列式,我们可以将所有的行(或者列)加到同一行(列)去,然后提出一个因子,再做初等变换,就容易多了。我们来看它的解法。

解:将行列式所有的列加到第一列去,我们得到了
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}\]
将第一列提出因子10, 然后将每一行减去第一行,我们得到了
\[
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
1&3&4&1\\
1&4&1&2\\
1&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
0&1&1&-3\\
0&2&-2&-2\\
0&-1&-1&-1
\end{vmatrix}\]
按第一行展开,然后将第一行加到第三行,乘以\(-2\)加到第二行,得到了
\[10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
2&-2&-2\\
-1&-1&-1
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
0&-4&4\\
0&0&-4
\end{vmatrix}=160\]

用初等变换法求\(n\)阶行列式(determinant)

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换,就是下列三种行列式的运算:

  • 交换两行(列)
  • 将某一行(列)乘上一个常数
  • 将某一行(列)乘上一个常数加到另一行(列)去

通过这种运算,我们可以将行列式化成三角形,或者将某一行或者列化成只有一个非0 ,然后再按该行或列展开,从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例:求行列式的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
2&3&4&\cdots&n&1\\
3&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
n&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

这里我们看到,每一行或者每一列的元素都相同,只是排列顺序不同。这种情形,我们可以将所有的行或列加到同一行或列去,然后再提出一个因子,情形就会变得简单些了。该行(列)的元素就全部变成了1, 然后通过减法,就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解:将所有的列加到第一列去,然后提出因子\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{(n+1)n}{2}\), 行列式变成
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
1&3&4&\cdots&n&1\\
1&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
1&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

从最后一行开始,依次减去前一行,我们可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&1&1&\cdots&1-n&1\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&1-n&1&\cdots&1&1
\end{vmatrix}\]

全部减去第二行,行列式变成了
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&0&0&\cdots&-n&n\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&n
\end{vmatrix}\]

最后一列依次加上\(2,3,… ,n-1\) 列,得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n-\frac{n(n-1)}{2}\\
0&1&1&\cdots&1&-1\\
0&0&0&\cdots&-n&0\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&0
\end{vmatrix}\]

先按第一行展开,再按最后一列展开,可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&-n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&-n& &0\\
-n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

每一列乘以(-1), 则
\[|A|=
(-1)^{n+1}(-1)^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&n& &0\\
n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 \(a_{1,n-2}a_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}\),它的逆序数为\(\sum_{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}\), 所以它的符号是\((-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}\). 最后我们得到行列式的值是
\[|A|=\displaystyle (-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}\]

怎么求矩阵的特征值(Eigenvalue)

方阵的特征值的计算历来是线性代数课程里较难掌握的一部分。它不仅涉及到带字母的行列式的计算,还包含了多项的求根的过程。现在我们来看看矩阵特征值的求法。

例 :求矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
1&-2&4\\
2&3&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}\]
的特征值.

求方阵\(A\)的特征值, 就是求多项式 \(|A-\lambda I|\) 的根. 它的基本步骤是这样的:

  1. 求出行列式 \(|A-\lambda I|\) , 它是一个关于 \(\lambda\) 的多项式 (就是特征多项式);
  2. 令多项式 \(|A-\lambda I |\) = 0, 求出 \(\lambda\) 的值 (就是特征值, 或者特征根)

现在我们来看这个题的完整的解法.

解:\(A\) 的特征多项式为
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\]

先交换1, 3 两行,再将第一行乘以 \(-2\) 加到第二行, 乘以 \(\lambda-1\)加到第三行, 再对第一列展开, 就得到
\[\begin{align}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1&1&1-\lambda\\
0&1-\lambda&-1+2\lambda\\
0&-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1-\lambda&-1+2\lambda\\
-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}
\end{align}\]

把第一列提出因子\(-1\), 并将第2 行第2 列的元素展开,可得
\[|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
-\lambda+3&(1+\lambda)(3-\lambda)
\end{vmatrix}=
(3-\lambda)\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
1&1+\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-3)(-\lambda)(\lambda-2).
\]

令\(|A-\lambda I|=0\), 就得到了方阵\(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_3=2\)

线性代数(Linear Algebra)怎么学

  1. 线性代数的基本计算技巧是初等(行)变换(row reduction),离开了这个技巧,计算基本上不能进行。需要用到的地方太多了,基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组,求逆矩阵,求特征向量,判定向量组的线性相关性等等。

    初等变换的基本技术有两点:其一、按列进行,先将第一列除第一个数字外,全部化成零。然后第二列,第三列等等进行。其二,每次找个最简单的数字的行做为基本行,进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。

  2. 线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性,可以用来求特征向量,可以用来判定矩阵是否可逆,可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。

    线性方程组的基本理论有两个方面,解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法,也就是初等变换的方法。、、

    而解的结构,又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。

    齐次方程:

    1. 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后,阶梯形(REF)矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
    2. 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)

    非齐次方程:

    1. 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
    2. 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
    3. 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
    4. 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\),其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解,\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个(特)解。
  3. 第二个计算技巧是行列式(determinant) 的计算。在计算特征值的时候,一定会用到行列式的计算。另外,还可以用行列来判定矩阵是否可逆,向量组是否相关,还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
  4. 线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量,这个一定要会。在矩阵的对角化,解常微分方程组,随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算,都是应用行列式和方程组的计算。

函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的一般方法是;

  1. 直接展开;对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
  2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式;例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
  3. 通过变形来利用已知的函数展开式;例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数,我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数,然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\),而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\),从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
  4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式;例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\),它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
  5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\),而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\),所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式:

  1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
  2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
  3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
  4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
  6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
  7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)