用递推法求 \(n\) 阶行列式

用递推法来计算行列式的方法是:将行列式按行或者按列展开以后,低阶的行列式具有与原行列式相同的形式。
另外,这种行列式的0元素比较多,因而行列式展开的项并不多,否则计算量大太或者得不到合适的递推式。这样所得到的关于低阶行列式的表达式称之为递推式。在递推关系式的右端出现一个或者几低阶的行列式,然后就按行列式的计算法则计算一阶和二阶行列式的值,而高阶的行列式依次由递推式计算得到。这种方法我们称这为递推法。我们来看两个例子。

例 1: 计算行列式
\[ D_{2 n} = \left|\begin{array}{cccccccc}
a_n & & & & & & & b_n\\
0 & a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1} & 0\\
& & \ddots & & &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & \\
& & & a_1 & b_1 & & & \\
& & & c_1 & d_1 & & & \\
& &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & & \\
0 & c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1} & 0\\
c_n & & & & & & & d_n
\end{array}\right| \]
我们看到这个行列式,除了四个角的元素外,其它都是0。再看低阶的行列式,如果除去四周的行和列外,低阶的行列式跟原行列式具有相同的形式。那么可以知道这个行列式可以用递推法来求。我们来看怎么用递推法来求这个行列式。

解:将行列式按第一行展开,我们就可以得到
\[\begin{align} D_{2 n} &= a_n \left|\begin{array}{ccccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1} & 0\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & \\
& & a_1 & b_1 & & & \\
& & c_1 & d_1 & & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1} & \\
0 & & & & & & d_n
\end{array}\right|\\
& + ( – 1)^{1 + 2 n} b_n \left|\begin{array}{ccccccc}
0 & a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& & \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & & a_1 & b_1 & & \\
& & & c_1 & d_1 & & \\
& &\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
0 & c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}\\
c_n & & & & & & 0
\end{array}\right|,\end{align} \]
再将第一个行列式按最后一列展开,第二个行列式按第一列展开,我们得到
\[\begin{align} D_{2 n} &= a_n d_n \left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
&\cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|\\
& + ( – 1)^{1 + 2 n} ( – 1)^{1 + 2 n – 1} b_n c_n
\left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|, \end{align}\]
我们现在看到一、二这两个行列式是相等的。而这两个行列式跟原行列式形式上完全相同。我们记
\[ D_{2 ( n – 1)} = \left|\begin{array}{cccccc}
a_{n – 1} & & & & & b_{n – 1}\\
& \ddots & & & \cdot^{\cdot^{\cdot}} & \\
& & a_1 & b_1 & & \\
& & c_1 & d_1 & & \\
& \cdot^{\cdot^{\cdot}} & & & \ddots & \\
c_{n – 1} & & & & & d_{n – 1}
\end{array}\right|, \]
那么
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) D_{2 ( n – 1)} . \]
由此式又可能得到
\[ D_{2 ( n – 1)} = ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1}) D_{2 ( n –
2)}, D_{2 ( n – 2)} = ( a_{n – 2} d_{n – 2} – b_{n – 2} c_{n – 2}) D_{2 ( n
– 3)} \]
等等。最后我们得到
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1})
\cdots ( a_2 d_2 – b_2 d_2) D_2, \]
而\(D_2 = a_1 d_1 – b_1 d_1\)。所以最后我们得到了
\[ D_{2 n} = ( a_n d_n – b_n c_n) ( a_{n – 1} d_{n – 1} – b_{n – 1} c_{n – 1})
\cdots ( a_1 d_1 – b_1 d_1) . \]

用Stolz公式求极限

在高等数学这门课里,一般都不讲Stolz定理,但是因为这个定理应用广泛而且非常方便,我觉得有必要讲一讲这个定理。
这个定理的形式很像函数极限的洛必达法则。这个定理有两个等价的形式,我们只叙述我们方便应用的这个形式。
定理: 设有数列\(\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\)严格单调增,\(\lim_{n \to \infty}b_n=\infty\),并且极限
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\)存在(可以为无穷大),
那么就有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}.\]

我们来看两个例子:
(1)求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}\quad (a>1)\]
(2)设\(\lim_{n\to \infty}a_n=A\),求极限
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]

这两个例子,分母都是\(n\),很显然是单调增加而且极限为无穷大,符合定理的条件。
(1)由定理可知
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^n-a^{n-1}}{n-(n-1)}=\lim_{n\to\infty}(a^n-a^{n-1})=\lim_{n\to\infty}(a^n(1-\frac{1}{a})=\infty\]

(2)设\(x_n=a_1+a_2+\cdots+a^n\),那么
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=\lim_{n\to\infty}a_n=A\]

正项级数的积分判别法

有些教材用到了积分判别法来判别 \(p-\)级数的收敛性, 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理(积分判别法): 设 \(f(x)\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,并且 \(f(n)=a_n\), 那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 同敛散。 也就是说:

  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 收敛,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 发散,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 发散

我们不去证明这个定理,有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记:

  1. 对于这个定理,\(n\) 不一定要从 1 开始 。举例说,如果级数的第一项从 4 开始,那么我们的积分的下限就是 4 .
  2. \(f(x)\) 不一定需要在区间上一直单调,只需要它最终是单调的就行,也就是说,从某一项开始后,它是单调的。
  3. 级数的值不等于积分的值,这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数,那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\]
的敛散性。

解:我们看到,函数 \(\frac{1}{x^2+1}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法。因为
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x \Big|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\]
所以,积分是收敛的,从而由积分判别法,此级数收敛。

例 2:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\]的敛散性。

解:函数 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 在区间 \((1,\infty)\) 上为一连续、非负函数,但是否单调, 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
它在 \(x>e\) 时是单调减少的。根据我们前面的注记,这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
\[\int_1^{\infty}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}\ln^2x\Big|_1^{\infty}=\infty .\]
所以积分是发散的,从而,级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\) 是发散的。

例3:判别级数
\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\]的敛散性。

解:函数 \(\frac{1}{x\ln x}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x\ln x}=\ln^2(\ln x)\Big|_2^{\infty}=\infty .\]
所以级数发散。

怎样用递推法求不定积分

当我们碰到型如 \(\int x^n\sin xdx, \int ln^nxdx, \int \cos^nxdx\) 的积分时, 虽然可以重复使用分部积分法或者恒等变形等方法求出积分, 但其计算过程始终繁琐得很. 简单一点的方法, 就是我们先推出一个递推式, 然后用递推式求出积分. 更为复杂一点的函数, 如 \(\int\frac{1}{(1+x^2)^n}dx\), 我们没有别的方法来求, 只有使用递推法.

所谓递推, 就是被积函数是一个跟自然数 \(n\) 有关的函数,我们通过分部积分法, 得到积分与低一阶的积分有关, 就是积分可以写成关于 \(n-1\) 的类似的函数的积分, 然后逐步往后推, 最后得到积分的方法.

现在我们用例子来介绍这种积分方法.

例1: 导出积分 \(\int x^ne^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int x^5e^xdx\)

解: 由分部积分, 可以得到
\[\int x^ne^xdx=x^ne^x-\int n x^{n-1}e^xdx\]

如果记 \(I_n=\int x^ne^xdx\), 则上式就是 \(I_n= x^ne^x- nI_{n-1}\). 而 \(I_0=\int e^xdx= e^x+C\). 这就是我们得到的递推公式. 现在我们用这个递推公式求 \(\int x^5e^xdx\).

\[I_5= x^5e^x-5I_4= x^5e^x-5(x^4e^x-4I_3)=\cdots=x^5e^x-5x^4e^x+20x^3e^x-60x^2e^x+120xe^x-120e^x+C\]

例2: 导出积分 \(\int \sin^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\)

解: 我们还是用分部积分法来导出递推式. 设 \(I_n=\int \sin^xdx\), 那么
\[I_n=\int\sin^{n-1}x\sin xdx= -\int\sin^{n-1}xd(\cos x)dx = -\sin^{n-1}x\cos x+\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx\]

因为
\[\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx= \int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx=(n-1)( -I_n+I_{n-2}\]

将这个式子代入上式, 我们得到
\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]

这就是我们所得到的递推式. 现在我们应用这个递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\).

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x+\frac{5}{6}I_{4}=-\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x + \frac{5}{6}(-\frac{1}{4}\sin^{3}x\cos x + \frac{3}{4}I_2) \]

再递推一次, 我们就得到了

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x – \frac{5}{24}\sin^{3}x\cos x – \frac{15}{18}\cos x\sin x+\frac{15}{48}x+C\]

例3: 导出积分 \(I_n=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx\) 的递推式, 并用该递推式求 \(I_2\).

解: 由分部积分

\[\begin{align}
I_n&=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+\int(n+1)\frac{2x^2}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)\int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)I_n-2(n+1)I_{n+1}
\end{align}\]

从而得到递推式
\[I_{n+1}=\frac{1}{2n+2}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^n}+\frac{2n+1}{2n+2}I_n\]

将左边还是写成 \(I_n\) , 我们得到了递推式
\[I_n=\frac{1}{2n}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}\]

由此递推式, 我们可以得到
\[I_2=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(1+x^2)}+\frac{3}{4}I_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{4}\arctan x+C\]

怎么求矩阵方程?

求解矩阵方程,很像解一个一元一次方程,第一步就要”合并同类项”,将未知矩阵放在一起,然后利用逆矩阵来求解。我们来看例子。

例 1:解矩阵方程\(AB=A+2B\),其中
\[A=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}.\]

我们看到,两边都有\(B\),那第一步就是将要求的\(B\)放在一起。为此,我们将右边的\(2B\)移到左边,然后求\(A-2E\)的逆矩阵就可以得到\(B\)了。我们来看完整的过程。

解: 将方程右边的2B移到左边,方程变成了
\[AB-2B=A \rightarrow (A-2E)B=A.\]
所以,只要\(A-2E\)可逆,方程的解就是
\[B=(A-2E)^{-1}A.\]

现在我们来求\(A-2E\)的逆矩阵。首先,我们要证明其可逆。
\[|A-2E|=\begin{vmatrix}
-2&3&3\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1&-3&0\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=2\ne0\]
所以\(A-2E\)可逆。现在我们来求它的逆。

我们教材上讲了两种求逆矩阵的方法,一种是伴随矩阵的方法,另一种是初等变换法。不要傻傻地去用伴随矩阵来求逆矩阵,费力又不讨好。虽然那是最开始讲的一种方法。

求逆矩阵最简便的方法是用初等变换法。现在我们就用它来求\(A-2E\)的逆矩阵。
\[\begin{align}(A-2E,E)&=\begin{pmatrix}
-2&3&3&\vdots& 1&0&0\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r1 + r3 \times -3}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r3+r1}{\scriptsize{r2-r1}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&2&0&\vdots& -1&1&3\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r2\times \frac{1}{2}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r1+r2\times 3}{\scriptsize{r3+r2}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&0&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&0&1&\vdots &\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{align}\]

所以
\[(A-2E)^{-1}=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\]

将它乘在\(A\)的左边,就得到了\(B\):
\[\begin{align}B=(A-2E)^{-1}A&=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
-1&2&3\\
1&1&0
\end{pmatrix}
\end{align}\]

幂指函数及其极限与导数

幂指函数,看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\), 函数既像幂函数,又像指数函数,它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的,特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数,最常见的错误就是求导的时候,把它当成幂函数的复合函数,或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点,很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域:同指数函数一样,幂指函数要求它的底是正数,否则,函数可能就没有意义。例如,当 \(x<0\) 时,函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说,\(f(x)>0\),再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域,幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说,如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(U_1\),\(g(x)\) 的定义域为 \(U_2\),\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ,则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)

幂指函数的复合规则: 幂指函数是复合函数吗?答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合,也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数,通过什么样的规则复合而成的呢?

我们先来对它进行变形, 先对它取对数,再取 \(e\) 底,那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样,问题就简单多了,我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后,幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限: 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\), 则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。

如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限,就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式,接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候,指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型,然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 \(1^{\infty}\) 型的极限,还可以通过将它变形,运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数:在教材里,幂指函数的导数一般是用对数求导法来求,而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后,我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\), 那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\), 所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\),从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

将 \(u\) 回代,就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

如果熟悉了,可以直接这么求
\[
\begin{align}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align}\]

怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)?

这个问题,对于大多数同学来讲,不是什么大的困难。毕竟,它的定义还是比较好理解,而且有了极限的基础以后,计算也不是什么难题。但有时候,有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难,不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义:

  1. 如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\),则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线,或者铅直渐近线;
  2. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\),则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(X)\) 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向;
  3. 如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\),则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(X)\) 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候,需要确定函数的渐近线。 那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是:先找垂直渐近线,再找水平渐近线,最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线,也有可能三类渐近线都有。

  1. 垂直渐近线:垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么?因为从连续函数的性质知道,闭区间的连续函数有界,所以如果是连续的话,它的每一点的极限都是有限的(我们可以选一个很小的包含这点的连续区间)。
    找到不连续的点后,再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大,那么这点处就有垂直渐近线。
  2. 水平渐近线:确定垂直渐近线后,就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大,如果极限存在(不包括无穷大,无穷大是极限不存在的一种),那么就有水平渐近线;
  3. 斜渐近线:如果一个方向有水平渐近线,就不会有斜渐近线。也就是说,一个方向有水平渐近线,就不用找斜渐近线了(为什么?)。 如果没有水平渐近线,就来确定有没有斜渐近线。
    找斜渐近线的方式为: 先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\),如果极限存在,值为 \(a\),则可确定有斜渐近线。接着,求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-ax\),如果极限为 \(b\),则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)

行列式(determinant)的计算技巧

对于阶数不高的,一般的数字行列式,最方便有效的计算方式是降阶法,或者说是初等变换+行列式展开。另外,将行列式化成三角形也是常用的一个方法。有些数字行列式具有一定的规律,我们可以利用这些规律来较快速地计算出它的值。

我们来看一些常见的数字行列式的例子。

例:计算行列式
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}\]
这个行列式,直接用降阶法,或者用化成三角形的方式,计算量较大。但是这个行列式有一些规律我们可以利用。我们看到,每一行或者每一列的元素都是一样的,只是排列顺序不同。或者可以这样说,它们的和都是相同的数字。所以对这个行列式,我们可以将所有的行(或者列)加到同一行(列)去,然后提出一个因子,再做初等变换,就容易多了。我们来看它的解法。

解:将行列式所有的列加到第一列去,我们得到了
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}\]
将第一列提出因子10, 然后将每一行减去第一行,我们得到了
\[
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
1&3&4&1\\
1&4&1&2\\
1&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
0&1&1&-3\\
0&2&-2&-2\\
0&-1&-1&-1
\end{vmatrix}\]
按第一行展开,然后将第一行加到第三行,乘以\(-2\)加到第二行,得到了
\[10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
2&-2&-2\\
-1&-1&-1
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
0&-4&4\\
0&0&-4
\end{vmatrix}=160\]

用初等变换法求\(n\)阶行列式(determinant)

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换,就是下列三种行列式的运算:

  • 交换两行(列)
  • 将某一行(列)乘上一个常数
  • 将某一行(列)乘上一个常数加到另一行(列)去

通过这种运算,我们可以将行列式化成三角形,或者将某一行或者列化成只有一个非0 ,然后再按该行或列展开,从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例:求行列式的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
2&3&4&\cdots&n&1\\
3&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
n&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

这里我们看到,每一行或者每一列的元素都相同,只是排列顺序不同。这种情形,我们可以将所有的行或列加到同一行或列去,然后再提出一个因子,情形就会变得简单些了。该行(列)的元素就全部变成了1, 然后通过减法,就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解:将所有的列加到第一列去,然后提出因子\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{(n+1)n}{2}\), 行列式变成
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
1&3&4&\cdots&n&1\\
1&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
1&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

从最后一行开始,依次减去前一行,我们可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&1&1&\cdots&1-n&1\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&1-n&1&\cdots&1&1
\end{vmatrix}\]

全部减去第二行,行列式变成了
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&0&0&\cdots&-n&n\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&n
\end{vmatrix}\]

最后一列依次加上\(2,3,… ,n-1\) 列,得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n-\frac{n(n-1)}{2}\\
0&1&1&\cdots&1&-1\\
0&0&0&\cdots&-n&0\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&0
\end{vmatrix}\]

先按第一行展开,再按最后一列展开,可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&-n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&-n& &0\\
-n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

每一列乘以(-1), 则
\[|A|=
(-1)^{n+1}(-1)^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&n& &0\\
n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 \(a_{1,n-2}a_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}\),它的逆序数为\(\sum_{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}\), 所以它的符号是\((-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}\). 最后我们得到行列式的值是
\[|A|=\displaystyle (-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}\]

怎么求矩阵的特征值(Eigenvalue)

方阵的特征值的计算历来是线性代数课程里较难掌握的一部分。它不仅涉及到带字母的行列式的计算,还包含了多项的求根的过程。现在我们来看看矩阵特征值的求法。

例 :求矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
1&-2&4\\
2&3&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}\]
的特征值.

求方阵\(A\)的特征值, 就是求多项式 \(|A-\lambda I|\) 的根. 它的基本步骤是这样的:

  1. 求出行列式 \(|A-\lambda I|\) , 它是一个关于 \(\lambda\) 的多项式 (就是特征多项式);
  2. 令多项式 \(|A-\lambda I |\) = 0, 求出 \(\lambda\) 的值 (就是特征值, 或者特征根)

现在我们来看这个题的完整的解法.

解:\(A\) 的特征多项式为
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\]

先交换1, 3 两行,再将第一行乘以 \(-2\) 加到第二行, 乘以 \(\lambda-1\)加到第三行, 再对第一列展开, 就得到
\[\begin{align}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1&1&1-\lambda\\
0&1-\lambda&-1+2\lambda\\
0&-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1-\lambda&-1+2\lambda\\
-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}
\end{align}\]

把第一列提出因子\(-1\), 并将第2 行第2 列的元素展开,可得
\[|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
-\lambda+3&(1+\lambda)(3-\lambda)
\end{vmatrix}=
(3-\lambda)\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
1&1+\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-3)(-\lambda)(\lambda-2).
\]

令\(|A-\lambda I|=0\), 就得到了方阵\(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_3=2\)