线性代数复习(二):有解与无解方程组

我们利用矩阵的秩(rank)的概念,给出方程组有解和无解的条件。我们首先给出秩的定义,以及三个关于解的结构的定理。利用这几个定理,可以比较方便地得出方程组有解无解的结论。以及解的结构问题。

如果方程组的系数矩阵(coefficient matrix)的秩小于增广矩阵的秩,方程组就是无解的(inconsistent system)。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组就是有解(consistent system)。如果秩等于未知元的个数,方程组的解就是惟一的;如果秩小于未知元的个数,方程组就有无限多个解。

线性代数复习(一):解线性方程组

我们解线性方程组的基本方法就是,将方程组的增广矩阵(argument matrix) 作初等行变换(row reduction),将方程组的增广矩阵化成行最简矩阵(reduced row echelon form)。因为行最简矩阵对应的方程组是最简单的,而且可以根据行最简矩阵,可以直接写出方程组的解。

这个视频讲解了如何将矩阵化成行最简矩阵,和化简的一些小技巧。以及化简后,如何通过行最简矩阵直接写出方程组的解。