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怎样用递推法求不定积分

当我们碰到型如 \(\int x^n\sin xdx, \int \ln^nxdx, \int \cos^nxdx\) 的积分时, 虽然可以重复使用分部积分法或者恒等变形等方法求出积分, 但其计算过程始终繁琐得很. 简单一点的方法, 就是我们先推出一个递推式, 然后用递推式求出积分. 更为复杂一点的函数, 如 \(\int\frac{1}{(1+x^2)^n}dx\), 我们没有别的方法来求, 只有使用递推法.

所谓递推, 就是被积函数是一个跟自然数 \(n\) 有关的函数,我们通过分部积分法, 得到积分与低一阶的积分有关, 就是积分可以写成关于 \(n-1\) 的类似的函数的积分, 然后逐步往后推, 最后得到积分的方法.

现在我们用例子来介绍这种积分方法.

例1: 导出积分 \(\int x^ne^xdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int x^5e^xdx\)

解: 由分部积分, 可以得到
\[\int x^ne^xdx=x^ne^x-\int n x^{n-1}e^xdx\]

如果记 \(I_n=\int x^ne^xdx\), 则上式就是 \(I_n= x^ne^x- nI_{n-1}\). 而 \(I_0=\int e^xdx= e^x+C\). 这就是我们得到的递推公式. 现在我们用这个递推公式求 \(\int x^5e^xdx\).

\[\begin{align*}I_5&= x^5e^x-5I_4= x^5e^x-5(x^4e^x-4I_3)\\ &=\cdots=x^5e^x-5x^4e^x+20x^3e^x-60x^2e^x+120xe^x-120e^x+C\end{align*}\]

例2: 导出积分 \(\int \sin^nxdx\) 的递推式, 并用该递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\)

解: 我们还是用分部积分法来导出递推式. 设 \(I_n=\int \sin^nxdx\), 那么
\[\begin{align*}I_n&=\int\sin^{n-1}x\sin xdx\\ &= -\int\sin^{n-1}xd(\cos x)dx \\ &= -\sin^{n-1}x\cos x+\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx\end{align*}\]

因为
\[\int \cos x (n-1)\sin^{n-2}x\cos xdx= \int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx=(n-1)( -I_n+I_{n-2})\]

将这个式子代入上式, 我们得到
\[I_n= -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]

这就是我们所得到的递推式. 现在我们应用这个递推式求积分 \(\int \sin^6xdx\)。

\[\begin{align*}I_6&= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x+\frac{5}{6}I_{4}\\ &=-\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x + \frac{5}{6}(-\frac{1}{4}\sin^{3}x\cos x + \frac{3}{4}I_2)\end{align*} \]

再递推一次, 我们就得到了

\[I_6= -\frac{1}{6}\sin^{5}x\cos x – \frac{5}{24}\sin^{3}x\cos x – \frac{15}{18}\cos x\sin x+\frac{15}{48}x+C\]

例3: 导出积分 \(I_n=\int\frac{1}{(1+x^2)^n}dx\) 的递推式, 并用该递推式求 \(I_2\).

解: 由分部积分

\[\begin{align}
I_n&=\int\frac{1}{(1+x^2)}dx=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+\int(n+1)\frac{2x^2}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)\int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(1+x^2)^n}dx+2(n+1)I_n-2(n+1)I_{n+1}
\end{align}\]

从而得到递推式
\[I_{n+1}=\frac{1}{2n+2}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^n}+\frac{2n+1}{2n+2}I_n\]

将左边还是写成 \(I_n\) , 我们得到了递推式
\[I_n=\frac{1}{2n}\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-1}{2n}I_{n-1}\]

由此递推式, 我们可以得到
\[I_2=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{(1+x^2)}+\frac{3}{4}I_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{4}\arctan x+C\]

怎么求矩阵方程?

求解矩阵方程，很像解一个一元一次方程，第一步就要”合并同类项”，将未知矩阵放在一起，然后利用逆矩阵来求解。我们来看例子。

例 1:解矩阵方程\(AB=A+2B\)，其中
\[A=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}.\]

我们看到，两边都有\(B\)，那第一步就是将要求的\(B\)放在一起。为此，我们将右边的\(2B\)移到左边，然后求\(A-2E\)的逆矩阵就可以得到\(B\)了。我们来看完整的过程。

解: 将方程右边的2B移到左边，方程变成了
\[AB-2B=A \rightarrow (A-2E)B=A.\]
所以，只要\(A-2E\)可逆，方程的解就是
\[B=(A-2E)^{-1}A.\]

现在我们来求\(A-2E\)的逆矩阵。首先，我们要证明其可逆。
\[|A-2E|=\begin{vmatrix}
-2&3&3\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1&-3&0\\
1&-1&0\\
-1&2&1
\end{vmatrix}=2\ne0\]
所以\(A-2E\)可逆。现在我们来求它的逆。

我们教材上讲了两种求逆矩阵的方法，一种是伴随矩阵的方法，另一种是初等变换法。不要傻傻地去用伴随矩阵来求逆矩阵，费力又不讨好。虽然那是最开始讲的一种方法。

求逆矩阵最简便的方法是用初等变换法。现在我们就用它来求\(A-2E\)的逆矩阵。
\[\begin{align}(A-2E,E)&=\begin{pmatrix}
-2&3&3&\vdots& 1&0&0\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r1 + r3 \times -3}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
1&-1&0&\vdots& 0&1&0\\
-1&2&1&\vdots &0&0&1
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r3+r1}{\scriptsize{r2-r1}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&2&0&\vdots& -1&1&3\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{r2\times \frac{1}{2}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&-3&0&\vdots& 1&0&-3\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&-1&1&\vdots &1&0&-2
\end{pmatrix}\\
&\stackrel{\stackrel{r1+r2\times 3}{\scriptsize{r3+r2}}}{\sim}
\begin{pmatrix}
1&0&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
0&1&0&\vdots& -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
0&0&1&\vdots &\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\end{align}\]

所以
\[(A-2E)^{-1}=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\]

将它乘在\(A\)的左边，就得到了\(B\):
\[\begin{align}B=(A-2E)^{-1}A&=
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&3&3\\
1&1&0\\
-1&2&3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&3&3\\
-1&2&3\\
1&1&0
\end{pmatrix}
\end{align}\]

幂指函数及其极限与导数

幂指函数，看起来就是这样的函数 \(f(x)^{g(x)}\)，函数既像幂函数，又像指数函数，它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的，特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数，最常见的错误就是求导的时候，把它当成幂函数的复合函数，或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点，很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域：同指数函数一样，幂指函数要求它的底是正数，否则，函数可能就没有意义。例如，当 \(x<0\) 时，函数 \(x^x\) 就没什么意义。所以对于幂指函数来说，\(f(x)>0\)，再加上 \(g(x)\) 和 \(f(x)\) 的定义域，幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说，如果设 \(f(x)\) 的定义域为 \(U_1\)，\(g(x)\) 的定义域为 \(U_2\)，\(V=\{x\in R : f(x)>0\}\) ，则幂指函数 \((f(x)^{g(x)}\) 的定义域是 \(U=U_1\cap U_2 \cap V\)

幂指函数的复合规则： 幂指函数是复合函数吗？答案是它是复合函数。但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合，也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数，通过什么样的规则复合而成的呢？

我们先来对它进行变形，先对它取对数，再取 \(e\) 底，那么 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)。这样，问题就简单多了，我们可以认为它是由指数函数 \(e^u\) 和函数 \(g(x)\ln f(x)\) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后，幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限： 如果 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\)，且 \(A,B\) 都是常数并且不同时为 \(0\)，则 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \)。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。因为 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A}= A^B\)。

如果极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 是未定式极限，就是它是 \(0^0, 1^{\infty}\) 型或者 \(\infty^0\) 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) 化成 \(e^{\lim_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\) 的形式，接着将指数部分化成形式 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\)。这时候，指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 \(1^{\infty}\) 型的极限，还可以通过将它变形，运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数：在教材里，幂指函数的导数一般是用对数求导法来求，而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后，我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

设 \(F(x)=f(x)^{g(x)}\)，那么因为 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)，所以可以设 \(u=g(x)\ln f(x)\)，从而 \(F(x)\) 是函数 \(G(u)=e^u\) 和函数 \(u=g(x)\ln f(x)\) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = e^u \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

将 \(u\) 回代，就得到了
\[F'(x)=G'(u) u'(x) = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)\]

如果熟悉了，可以直接这么求
\[
\begin{align}
\left(f(x)^{g(x)}\right)’&=\left(e^{g(x)\ln f(x)}\right)’ \\
&= e^{g(x)\ln f(x)} (g(x)\ln f(x))’ \\
&= f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)
\end{align}\]

怎么寻找函数的渐近线(Asymptotes)？

我们给出函数几种渐近线的定义以及求法。

这个问题，对于大多数同学来讲，不是什么大的困难。毕竟，它的定义还是比较好理解，而且有了极限的基础以后，计算也不是什么难题。但有时候，有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难，不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义：

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\)，则称直线 \(x=x_0\) 是函数 \(f(X)\) 的垂直渐近线，或者铅直渐近线；
如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)=A\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A\)，则称直线 \(y=A\) 是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向；
如果 \(\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0\) 或者 \(\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax-b=0\)，则称直线 \(y=ax+b\) 是函数 \(f(x)\) 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候，需要确定函数的渐近线。那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是：先找垂直渐近线，再找水平渐近线，最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线，也有可能三类渐近线都有。

垂直渐近线：垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么？因为从连续函数的性质知道，闭区间的连续函数有界，所以如果是连续的话，它的每一点的极限都是有限的（我们可以选一个很小的包含这点的连续区间）。
找到不连续的点后，再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大，那么这点处就有垂直渐近线。
水平渐近线：确定垂直渐近线后，就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大，如果极限存在（不包括无穷大，无穷大是极限不存在的一种），那么就有水平渐近线；
斜渐近线：如果一个方向有水平渐近线，就不会有斜渐近线。也就是说，一个方向有水平渐近线，就不用找斜渐近线了（为什么？）。如果没有水平渐近线，就来确定有没有斜渐近线。
找斜渐近线的方式为：先求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\)，如果极限存在，值为 \(a\)，则可确定有斜渐近线。接着，求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}-a\)，如果极限为 \(b\)，则斜渐近线的方程为 \(y=ax+b\)。

行列式(determinant)的计算技巧

对于阶数不高的，一般的数字行列式，最方便有效的计算方式是降阶法，或者说是初等变换+行列式展开。另外，将行列式化成三角形也是常用的一个方法。有些数字行列式具有一定的规律，我们可以利用这些规律来较快速地计算出它的值。

我们来看一些常见的数字行列式的例子。

例：计算行列式
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}\]
这个行列式，直接用降阶法，或者用化成三角形的方式，计算量较大。但是这个行列式有一些规律我们可以利用。我们看到，每一行或者每一列的元素都是一样的，只是排列顺序不同。或者可以这样说，它们的和都是相同的数字。所以对这个行列式，我们可以将所有的行（或者列）加到同一行（列）去，然后提出一个因子，再做初等变换，就容易多了。我们来看它的解法。

解：将行列式所有的列加到第一列去，我们得到了
\[\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&1\\
3&4&1&2\\
4&1&2&3
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}\]
将第一列提出因子10，然后将每一行减去第一行，我们得到了
\[
\begin{vmatrix}
10&2&3&4\\
10&3&4&1\\
10&4&1&2\\
10&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
1&3&4&1\\
1&4&1&2\\
1&1&2&3
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
0&1&1&-3\\
0&2&-2&-2\\
0&-1&-1&-1
\end{vmatrix}\]
按第一行展开，然后将第一行加到第三行，乘以\(-2\)加到第二行，得到了
\[10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
2&-2&-2\\
-1&-1&-1
\end{vmatrix}=
10\begin{vmatrix}
1&1&-3\\
0&-4&4\\
0&0&-4
\end{vmatrix}=160\]

用初等变换法求\(n\)阶行列式（determinant）

求行列式最简单有效、也是应用最广的方法是初等变换法。所谓初等变换，就是下列三种行列式的运算：

交换两行（列）
将某一行（列）乘上一个常数
将某一行（列）乘上一个常数加到另一行（列）去

通过这种运算，我们可以将行列式化成三角形，或者将某一行或者列化成只有一个非0 ，然后再按该行或列展开，从而达到降阶的目的。我们用几个例子来说明这种方法。

例：求行列式的值
\[|A|=\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
2&3&4&\cdots&n&1\\
3&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
n&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

这里我们看到，每一行或者每一列的元素都相同，只是排列顺序不同。这种情形，我们可以将所有的行或列加到同一行或列去，然后再提出一个因子，情形就会变得简单些了。该行（列）的元素就全部变成了1，然后通过减法，就可以将该行或列化成只有一个非0. 我们来看它的解法。

解：将所有的列加到第一列去，然后提出因子\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{(n+1)n}{2}\), 行列式变成
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
1&3&4&\cdots&n&1\\
1&4&5&\cdots&1&2\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
1&1&2&\cdots&n-2&n-1
\end{vmatrix}\]

从最后一行开始，依次减去前一行，我们可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&1&1&\cdots&1-n&1\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&1-n&1&\cdots&1&1
\end{vmatrix}\]

全部减去第二行，行列式变成了
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n\\
0&1&1&\cdots&1&1-n\\
0&0&0&\cdots&-n&n\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&n
\end{vmatrix}\]

最后一列依次加上\(2,3,… ,n-1\) 列，得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
1&2&3&\cdots&n-1&n-\frac{n(n-1)}{2}\\
0&1&1&\cdots&1&-1\\
0&0&0&\cdots&-n&0\\
\vdots&\vdots &\vdots & &\vdots &\vdots\\
0&-n&0&\cdots&0&0
\end{vmatrix}\]

先按第一行展开，再按最后一列展开，可以得到
\[|A|=\frac{(n+1)n}{2}(-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&-n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&-n& &0\\
-n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

每一列乘以(-1), 则
\[|A|=
(-1)^{n+1}(-1)^{n-2}\frac{(n+1)n}{2}\begin{vmatrix}
0&0&\cdots&n\\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0&n& &0\\
n&0&\cdots&0
\end{vmatrix}
\]

现在只要利用行列式的定义, 就可以得到结果了. 这个行列式只有一项, 这一项就是 \(a_{1,n-2}a_{2,n-3}\cdots a_{n-2,1}=n^{n-2}\),它的逆序数为\(\sum_{i=1}^{n-3}i=\frac{(n-2)(n-3)}{2}\), 所以它的符号是\((-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}}\). 最后我们得到行列式的值是
\[|A|=\displaystyle (-1)^{\frac{(n-2)(n-3)}{2}+1}\frac{(n+1)n^{n-1}}{2}\]

怎么求矩阵的特征值(Eigenvalue)

方阵的特征值的计算历来是线性代数课程里较难掌握的一部分。它不仅涉及到带字母的行列式的计算，还包含了多项的求根的过程。现在我们来看看矩阵特征值的求法。

例：求矩阵
\[A=\begin{pmatrix}
1&-2&4\\
2&3&1\\
1&1&1
\end{pmatrix}\]
的特征值.

求方阵\(A\)的特征值, 就是求多项式 \(|A-\lambda I|\) 的根. 它的基本步骤是这样的:

求出行列式 \(|A-\lambda I|\) , 它是一个关于 \(\lambda\) 的多项式 (就是特征多项式)；
令多项式 \(|A-\lambda I |\) = 0, 求出 \(\lambda\) 的值 (就是特征值, 或者特征根)

现在我们来看这个题的完整的解法.

解:\(A\) 的特征多项式为
\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\]

先交换1, 3 两行,再将第一行乘以 \(-2\) 加到第二行, 乘以 \(\lambda-1\)加到第三行, 再对第一列展开, 就得到
\[\begin{align}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}
1-\lambda&-2&4\\
2&3-\lambda&1\\
1&1&1-\lambda
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1&1&1-\lambda\\
0&1-\lambda&-1+2\lambda\\
0&-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}\\
&=-\begin{vmatrix}
1-\lambda&-1+2\lambda\\
-3+\lambda&4-(1-\lambda)^2
\end{vmatrix}
\end{align}\]

把第一列提出因子\(-1\), 并将第2 行第2 列的元素展开,可得
\[|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
-\lambda+3&(1+\lambda)(3-\lambda)
\end{vmatrix}=
(3-\lambda)\begin{vmatrix}
\lambda-1&-1+2\lambda\\
1&1+\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-3)(-\lambda)(\lambda-2).
\]

令\(|A-\lambda I|=0\), 就得到了方阵\(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_3=2\)

线性代数（Linear Algebra）怎么学

线性代数的基本计算技巧是初等（行）变换（row reduction），离开了这个技巧，计算基本上不能进行。需要用到的地方太多了，基本上贯穿了整个课程。例如解线性方程组，求逆矩阵，求特征向量，判定向量组的线性相关性等等。
初等变换的基本技术有两点：其一、按列进行，先将第一列除第一个数字外，全部化成零。然后第二列，第三列等等进行。其二，每次找个最简单的数字的行做为基本行，进行变换。当然最简单的数学莫过于 \(1\) 了。
线性代数的基本理论是线性方程组的理论。它是其它理论的基础。例如可以用它来判定向量组的线性相关性，可以用来求特征向量，可以用来判定矩阵是否可逆，可以确定一个向量是不是其它向量的线性组合等等。
线性方程组的基本理论有两个方面，解的结构和求解方法。求解方法就是高斯消元法，也就是初等变换的方法。、、
而解的结构，又有两个方面。齐次方程 \(A{\vec x}=0\) 和非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\)。
齐次方程：
1. 方程组有非零解的充分必要条件是 \(\text {Rank} (A) < n\) 。其中 \(\text {Rank} (A)\) 可以简单地认为是行变换后，阶梯形（REF）矩阵中非零行的行数。\(n\) 是方程中未知元的个数。
2. 齐次方程组只有零解的条件是 \(\text {Rank} (A) = n\)
非齐次方程：
1. 方程组无解的条件是 \(\text {Rank} (A) < \text {Rank} (A,{\vec b})\)
2. 方程组有唯一解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) = n\)
3. 方程组有无穷多个解的条件是 \(\text {Rank} (A) = \text {Rank} (A,{\vec b}) < n\)
4. 方程组的通解为 \({\vec x}={\vec x_h}+{\vec \eta}\)，其中 \(\vec x_h\) 是 \(A{\vec x}=0\) 的通解，\(\vec \eta\) 是非齐次方程 \(A{\vec x}={\vec b}\) 的一个（特）解。
第二个计算技巧是行列式(determinant) 的计算。在计算特征值的时候，一定会用到行列式的计算。另外，还可以用行列来判定矩阵是否可逆，向量组是否相关，还可以判定方程组有解、无解或者有无穷多个解等等。
线性方程组应用比较多的方面是特征值与特征向量，这个一定要会。在矩阵的对角化，解常微分方程组，随机过程等等方面都有应用。这部分的内容的计算，都是应用行列式和方程组的计算。

函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的方法有直接展开和间接展开法。一般的情形是，利用已知函数的级数展开式，采用变量代换、逐项积分与逐项微分等方法间接展开。

函数展开成幂级数的一般方法是;

直接展开；对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
通过变量代换来利用已知的函数展开式；例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
通过变形来利用已知的函数展开式；例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数，我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数，然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\)，而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\)，从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式；例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\)，它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)，而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\)，所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式：

\(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
\(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
\(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
\(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
\(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)

怎么找 Column space 和 Null Space (列空间和零空间)

Column space 和 Null space，听起来很难的样子，其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换（Row reduction），把矩阵变成行阶梯形（Row reduced form）后，Column space 的 basis 就很容易得到了，而求零空间，其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间（Vector space）完全可以由其基表示，所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步：将矩阵化成行阶梯形（REF）
第二步：找出每一个非零行，第一个非零元（pivot number）所在的列，对应的原矩阵里的列，就是列空间的基（ Column space 的 basis）。

我们来看一个例子：设\(A\) 为如下的矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&-3&-7\\
-1&2&7&3&4\\
-2&2&9&5&5\\
3&6&9&-5&-2
\end{pmatrix}\]

通过初等行变换，它可以变成

\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\]

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行，它们的首个非零元在第一、二、四列，所以，列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列，也就是说，\(Col A\) 的基由下列三个向量组成：

\[
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}
\]

或者说 \[{\rm Col} A= {\rm span}\left(\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
-2\\
3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
2\\
2\\
6\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
5\\
-5
\end{pmatrix}\right)\]

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义，\(Null A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\)，所以，找零空间就是解方程组 \(A\vec{x}=0\}\) 。我们仍然以上面的 \(A\) 为例。我们先将它化成行最简形（RREF）
\[
\begin{pmatrix}
1&4&8&0&5\\
0&2&5&0&-1\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1&0&-2&0&-3\\
0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\
0&0&0&1&4\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\]

它的解是
\[\vec{x}=
C_1\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}+C_2
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}
\]

所以零空间是
\[
Null A={\rm span}\left(\begin{pmatrix}
2\\
-\frac{5}{2}\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
\frac{1}{2}\\
0\\
-4\\
1
\end{pmatrix}\right)
\]